类比探究

解答题(本大题共小题, 分)

1.(本小题10分) 如图1所示,在△ABC中,点O是AC上一点,过点O的直线与AB,BC的延长线分别相交于点M,N.
    2.(本小题10分) 如图1,正方形ABCD和正方形QMNP,M是正方形ABCD的对称中心,MN交AB于F,QM交AD
    于E.
    (1)猜想:ME与MF的数量关系;
    (2)如图2,若将原题中的“正方形”改为“菱形”,且∠QMN=∠ABC,其他条件不变,探索线段ME与线段MF的数量关系,并加以证明;
    (3)如图3,若将原题中的“正方形”改为“矩形”,且AB:BC=1:2,其他条件不变,探索线段ME与线段MF的数量关系,并说明理由;
    (4)如图4,若将原题中的“正方形”改为“平行四边形”,且∠QMN=∠ABC,AB:BC=m,其他条件不变,求出ME:MF的值.(直接写出答案)

      3.(本小题10分) 我们定义:如图1,在△ABC中,把AB绕点A顺时针旋转α(0°<α<180°)得到AB′,把AC绕点A逆时针旋转β得到AC′,连接B′C′.
      当α+β=180°时,我们称△AB′C′是△ABC的“旋补三角形”,△AB′C′边B′C′上的中线AD叫做
      △ABC的“旋补中线”,点A叫做“旋补中心”.
      特例感知:
      (1)在图2、图3中,△AB′C′是△ABC的“旋补三角形”,AD是△ABC的“旋补中线”.
      ①如图2,当△ABC为等边三角形时,AD与BC的数量关系为AD=     BC;
      ②如图3,当∠BAC=90°,BC=8时,则AD的长为              
      猜想论证:
      (2)在图1中,当△ABC为任意三角形时,猜想AD与BC的数量关系,并给予证明.

      拓展应用
      (3)如图4,四边形ABCD,∠C=90°,∠D=150°,BC=12,CD=,DA=6.在四边形内部是否存在点P,使△PDC是△PAB的“旋补三角形”?若存在,请给予证明,并求△PAB的“旋补中线”长;若不存在,请说明理由.

        4.(本小题10分) 如图1,已知正方形ABCD在直线MN的上方,BC在直线MN上,E是射线BC上一点,以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG.
        (1)连接FC,观察并猜测tan∠FCN的值,并说明理由;
        (2)如图2,将图1中正方形ABCD改为矩形ABCD,AB=m,BC=n(m,n为常数),E是射线BC上一动点(不含端点B),以AE为边在直线MN的上方作矩形AEFG,使顶点G恰好落在射线CD上,当点E沿射线CN运动时,请用含m,n的代数式表示tan∠FCN的值.