二次函数与几何综合

解答题(本大题共小题, 分)

1.(本小题10分) 如图1,在平面直角坐标系中,二次函数的图象与坐标轴交于A,B,C三点,其中点A的坐标为(-3,0),点B的坐标为(4,0),连接AC,BC.动点P从点A出发,在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动;同时,动点Q从点O出发,在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动,当其中一点到达终点时,另一点随之停止运动,设运动时间为t秒,连接PQ.
(1)填空:b=         ,c=          
(2)在点P,Q运动过程中,△APQ可能是直角三角形吗?请说明理由;
(3)在x轴下方,该二次函数的图象上是否存在点M,使△PQM是以点P为直角顶点的等腰直角三角形?若存在,请求出运动时间t;若不存在,请说明理由;
(4)如图2,点N的坐标为(,0),线段PQ的中点为H,连接NH,当点Q关于直线NH的对称点Q′恰好落在线段BC上时,请直接写出点Q′的坐标.

    2.(本小题10分) 如图1,抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,AB=4,矩形OBDC的边
    CD=1,延长DC交抛物线于点E.
    (1)求抛物线的解析式;
    (2)如图2,点P是直线EO上方抛物线上的一个动点,过点P作y轴的平行线交直线EO于点G,作PH⊥EO,垂足为H.设PH的长为l,点P的横坐标为m,求l与m的函数关系式(不必写出m的取值范围),并求出l的最大值;
    (3)如果点N是抛物线对称轴上的一点,抛物线上是否存在点M,使得以M,A,C,N为顶点的四边形是平行四边形?若存在,直接写出所有满足条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由.

      3.(本小题10分) 如图,抛物线y=ax2+bx-2的对称轴是直线x=1,与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点A的坐标为(-2,0),点P为抛物线上的一个动点,过点P作PD⊥x轴于点D,交直线BC于点E.
      (1)求抛物线的解析式;
      (2)若点P在第一象限内,当OD=4PE时,求四边形POBE的面积;
      (3)在(2)的条件下,若点M为直线BC上一点,点N为平面直角坐标系内一点,是否存在这样的点M和点N,使得以点B,D,M,N为顶点的四边形是菱形?若存在,直接写出点N的坐标;若不存在,请说明理由.(温馨提示:考生可以根据题意,在备用图中补充图形,以便探究)

        4.(本小题10分) 如图1,若直线l:y=-2x+4交x轴于点A,交y轴于点B,将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△COD.过点A,B,D的抛物线h:y=ax2+bx+4.
        (1)求抛物线h的表达式;
        (2)若与y轴平行的直线m以1秒钟一个单位长度的速度从y轴向左平移,交线段CD于点M,交抛物线h于点N,求线段MN的最大值;
        (3)如图2,点E为抛物线h的顶点,点P是抛物线h在第二象限上的一动点(不与点D,B重合),连接PE,以PE为边作图示一侧的正方形PEFG,随着点P的运动,正方形的大小、位置也随之改变.当顶点F或G恰好落在y轴上时,直接写出对应的点P的坐标.