如图，D为△ABC中线AM的中点，过M作AB、AC边的垂线，垂足分别为P、Q。过P、Q分别做DP、DQ的垂线交于点N。
（1）求证：PN=QN
（2）求证：MN⊥BC
答案
（1）连接DN
在Rt△APM中，PD为斜边上的中线
∴PD=AD=DM=AM
同理在Rt△AQM中，QD=AD=DM=AM
∴PD=QD
在Rt△PDN和Rt△QDN中
DN=DN
PD=QD
∴Rt△PDN≌Rt△QDN（HL）
∴PN=QN
（2）分别取BM、CM的中点S和T，连接PS、SN、QT和TN
在Rt△BPM中，PS为斜边中线
∴PS=BM，同理可证QT=
BM
∵M为BC中点，∴BM=CM，∴PS=QT
∠NPS+∠BPS+∠APD=90°
∵∠BPS=∠B，∠APD=∠PAD
∴∠NPS+∠B+∠PAD=90°
又∠AMC=∠B+∠PAD
∴∠NPS+∠AMC=90°
∵∠NQT+∠DQT=90°
∠AMC=∠DMQ+∠QMT
∠DQT=∠DQM+∠MQT
又∵∠DMQ=∠DQM，∠QMT=∠MQT
∴∠AMC=∠DQT
又∴∠NPS=∠NQT
在△PSN和△QTN中
PN=QN，∠NPS=∠NQT，PS=QT
∴△PSN≌△QTN（SAS）
∴SN=TN，即△STN为等腰三角形
∵S是BM中点
∴SM=BM，同理TM=
CM
∵BM=CM
∴SM=TM
由等腰三角形的三线合一可得MN⊥ST，即MN⊥BC
知识点：直角三角形斜边上的中线
略
第二问构造直角三角形斜边的中线比较有难度，另外证明全等的倒角过程也比较复杂
WORD格式（
