如图，在矩形OABC中，AO=10，AB=8，沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC，使点B落在OA边上的点E处．分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，抛物线经过O，D，C三点．
（1）求AD的长及抛物线的解析式；
（2）点N在抛物线对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使以M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M与点N的坐标；若不存在，请说明理由．

答案

解：（1）在矩形ABCD中，BC=AO=10，OC=AB=8,
由折叠可知：CE=BC=10，DE=BD
在Rt△EOC中，由勾股定理可得EO=6，
∴AE=4，
设AD=x，则DE=8-x
在Rt△ADE中由勾股定理得4²+x²=（8-x）²，
∴x=3，
则D（3，10），AD=3
将O（0，0），D（3，10），C（8，0）代入，
得
（2）存在；理由：①当EC为平行四边形的边时，
则MN∥EC，MN=EC
由E（0，6），C（8，6）可知E、C之间的水平距离为8，
∴M、N之间的水平距离也是8
∵点N在抛物线对称轴直线x=4上，
若M在对称轴左侧，则M的横坐标为-4，代入抛物线可得M₁（-4，-32）
∴N₁（4，-38）
若M在对称轴右侧，则M的横坐标为12，代入抛物线可得M₂（12，-32）
∴N₂（4，-26）
②当EC为平行四边形对角线时，MN过EC的中点（4，3）
∵N在直线x=4上，
∴直线MN与直线x=4重合，
∴M₃（4，）
∴N₃（4，）
综上所述：M、N的坐标为：
M₁（-4，-32），N₁（4，-38）；
M₂（12，-32），N₂（4，-26）；
M₃（4，），N₃（4，）

知识点：二次函数综合题  

略

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