在矩形ABCD中，E是BC的中点，点F在BC的延长线上，CM平分∠DCF，连接AE，作EM⊥AE交CM于点M．
（1）如图1，当AB=BC时，请判断AE与EM的数量关系并证明；
（2）如图2，当AB=nBC时，请判断AE与EM的数量关系并证明；
（3）如图3，把题目中“E是BC的中点”改为“BE=mEC”，当AB=nBC时，请判断AE与EM的数量关系并证明．
答案
解：（1）AE=EM，理由如下：
如图1，
取AB的中点G，连接GE．
∵∠AEM=90°
∴∠MEC+∠AEB=90°
∵∠B=90°
∴∠EAG+∠AEB=90°
∴∠EAG=∠MEC
∵点E，G分别为正方形ABCD的边BC和AB的中点
∴AG=EC
∵△BGE是等腰直角三角形
∴∠AGE=135°
∵CM平分∠DCF
∴∠ECM=135°
∴△AEG≌△EMC
∴AE=EM
（2）当AB=nBC时，AE=(2n-1)EM，理由如下：
如图2，
在AB上截取BG=BE，连接GE，则△BGE为等腰直角三角形
∴∠BGE=45°
∴∠AGE=∠ECM=135°
∵∠AEM=90°
∴∠MEC+∠AEB=90°
∵∠B=90°
∴∠EAG+∠AEB=90°
∴∠EAG=∠MEC
∴△AEG∽△EMC
∴
∵AB=nBC，BC=2BE=2EC，BG=BE
∴AG+BG=2nEC
∴AG=(2n-1)EC
∴=(2n-1)
∴AE=(2n-1)EM
（3）当AB=nBC，BE=mEC时，AE=(mn+n-m)EM，理由如下：
如图3，
在AB上截取BG=BE，连接GE，则△BGE为等腰直角三角形
∴∠BGE=45°
∴∠AGE=∠ECM=135°
∵∠AEM=90°
∴∠MEC+∠AEB=90°
∵∠B=90°
∴∠EAG+∠AEB=90°
∴∠EAG=∠MEC
∴△AEG∽△EMC
∴
∵BE=mEC
∴BC=BE+EC=(m+1)EC
∵AB=nBC，BG=BE
∴AG+BG=n(m+1)EC
∴AG+mEC=n(m+1)EC
∴AG=(mn+n-m)EC
∴=(mn+n-m)
∴AE=(mn+n-m)EM
知识点：相似中的类比探究问题
略
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