如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，AB＝8，CD＝10．(1)求梯形ABCD的周长；(2)动点P从点B出发，以1cm/s的速度沿B→A→D→C方向向点C运动；动点Q从点C出发，以1cm/s的速度沿C→D→A方向向点A运动；过点Q作QF⊥BC于点F．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达终点时整个运动随之结束，设运动时间为t秒．问：①当点P在B→A上运动时，是否存在这样的t，使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由.②在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．

答案

解：（1）过点D作DE⊥BC于点E
∵四边形ABCD是直角梯形
∴四边形ABED是矩形
∴AD=BE=2，AB=DE=8在Rt△DEC中，CE===6
∴梯形ABCD的周长=AB+BC+CD+DA=28.
（2）① ∵梯形ABCD的周长为28，PQ平分梯形ABCD的周长
∴BP+BC+CQ=14又∵BP=CQ=t∴t+8+t=14∴t=3∴当t=3时，PQ平分梯形ABCD的周长.
②（i）当0≤t≤8时，过点Q作QG⊥AB于点G
∵AP=8－t，DQ=10－t，AD=2，sinC=，cosC=∴CF=，QF=，PG==，QG=8－=（8－t）²+2²=t²-16t+68，PQ²=QG²+PG²=（8－）²+（）²=
若DQ=PD，则（10－t）²=t²-16t+68，解得：t=8；
若DQ=PQ，则（10－t）²=，解得：t₁=，t₂=＞8（舍去），此时t=；
（ii）当8＜t＜10时，PD=DQ=10－t，∴此时以DQ为一腰的等腰△DPQ恒成立；而当t=10时，点P、D、Q三点重合，无法构成三角形；
（iii）当10＜t≤12时，PD=DQ=t－10，∴此时以DQ为一腰的等腰△DPQ恒成立；综上所述，当t=或8≤t＜10或10＜t≤12时，以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形.