已知抛物线
与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,直线
与x轴交于点D.在第一象限内,若直线
上存在点P,使得以P,B,D为顶点的三角形与△OBC全等,则点P的坐标为( )

- A.(4,1),(4,-1)
- B.(4,1),(3,2)或(1,2)
- C.(4,1),(3,2)
- D.(4,1),(4,-1),(3,2)或(3,-2)
答案
正确答案:B

由题意得,A(-1,0),B(2,0),C(0,-1),
∴OB=2,OC=1.
点O,B,C为定点,△OBC为目标三角形,直角边长分别为2和1.
直线与x轴垂直,点D是直线
与x轴的交点,点P是直线
上的动点,
这时确定了∠PDB为直角,
要使得以P,B,D为顶点的三角形与△OBC全等,
只需BD,PD和△OBC两直角边的长度相等即可.
点B为定点,从BD长度入手确定直线的位置,
再根据PD的长度确定点P的坐标.
如图,当BD=BO=2时,m=4.
由,得点
的坐标为(4,1).
如图,当BD=OC=1时,m=3或1.
由DP=OB=2,得,
.
综上得,点P的坐标为(4,1),(3,2)或(1,2).

略
