如图1,在Rt△ABC中,ACB=90°,AC=6,BC=8,点D在边AB上运动,DE平分CDB交边BC于点E,EM⊥BD,垂足为M,EN⊥CD,垂足为N.
(1)当AD=CD时,求证:DE∥AC;
(2)探究:AD为何值时,△BME与△CNE相似?

答案

解:(1)证明:∵AD=CD
∴∠A=∠ACD
∵DE平分CDB交边BC于点E
∴∠CDE=∠BDE
∵∠CDB为△CDB的一个外角
∴∠CDB=∠A+∠ACD=2∠ACD
∵∠CDB=∠CDE+∠BDE=2∠CDE
∴∠ACD=∠CDE
∴DE∥AC
(2)①∠NCE=∠MBE
∵EM⊥BD,EN⊥CD,
∴△BME∽△CNE,如图

∵∠NCE=∠MBE
∴BD=CD
又∵∠NCE+∠ACD=∠MBE+∠A=90°
∴∠ACD=∠A
∴AD=CD
∴AD=BD=AB
∵在Rt△ABC中,ACB=90°,AC=6,BC=8
∴AB=10
∴AD=5
②∠NCE=∠MEB
∵EM⊥BD,EN⊥CD,
∴△BME∽△ENC,如图

∵∠NCE=∠MEB
∴EM∥CD
∴CD⊥AB
∵在Rt△ABC中,ACB=90°,AC=6,BC=8
∴AB=10
∵∠A=∠A,∠ADC=∠ACB
∴△ACD∽△ABC


综上:AD=5或时,△BME与△CNE相似.

知识点:相似中的动点问题  

解题思路

易错点

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