a是不为1的有理数，我们把 $\frac{1}{1-a}$ 称为a的差倒数．如：2的差倒数是 $\frac{1}{1-2}=-1$ ，-1的差倒数是 $\frac{1}{1-(-1)}=\frac{1}{2}$ ．已知 $a_{1}=\frac{1}{3}$ ，a₂是a₁的差倒数，a₃是a₂的差倒数，a₄是a₃的差倒数，……，依此类推，则a₂₀₁₁=______

答案

$\frac{1}{3}$

$a_{1}=\frac{1}{3}$ ， $a_{2}=\frac{1}{1-\frac{1}{3}}=\frac{3}{2}$ ， $a_{3}=\frac{1}{1-\frac{3}{2}}=-2$ ， $a_{4}=\frac{1}{1-(-2)}=\frac{1}{3}$ ,……，由此可以发现， $a_{3k+1}=\frac{1}{3}$ ， $a_{3k+2}=\frac{3}{2}$ ， $a_{3k}=-2$ ，而2011=3×670+1，所以 $a_{2011}=\frac{1}{3}$