（2011湖南衡阳）已知抛物线
．（1）试说明：无论m为何实数，该抛物线与x轴总有两个不同的交点；（2）如图，当该抛物线的对称轴为直线x＝3时，抛物线的顶点为点C．直线y＝x－1与抛物线交于点A、B，并与它的对称轴交于点D．①抛物线上是否存在一点P，使得四边形ACPD是正方形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；②平移直线CD，交直线AB于点M，交抛物线于点N．通过怎样的平移，能使得以C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形．
．（1）试说明：无论m为何实数，该抛物线与x轴总有两个不同的交点；（2）如图，当该抛物线的对称轴为直线x＝3时，抛物线的顶点为点C．直线y＝x－1与抛物线交于点A、B，并与它的对称轴交于点D．①抛物线上是否存在一点P，使得四边形ACPD是正方形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；②平移直线CD，交直线AB于点M，交抛物线于点N．通过怎样的平移，能使得以C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形．
答案
解：（1）∵
，
∵不管m为何实数，总有
，∴
＞0，
∴无论m为何实数，该抛物线与x轴总有两个不同的交点.
（2）抛物线的对称轴为直线x=3，∴m=3，
∴抛物线的解析式为
，顶点C坐标为（3，－2）
解方程组
，解得
或
，
所以A的坐标为（1，0）、B的坐标为（7，6），
∵x=3时y=x－1=3－1=2，
∴D的坐标为（3，2）
设抛物线的对称轴与x轴的交点为E，则E的坐标为（3，0），
所以AE=DE=CE=2
①假设抛物线上存在一点P使得四边形ACPD是正方形，则AP、CD互相垂直平分且相等，于是P点坐标即为抛物线与x轴的交点（5，0），
故抛物线上存在一点P（5，0）使得四边形ACPD是正方形，如下图：
②(Ⅰ)设直线CD向右平移n个单位（n＞0）可使得C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，则直线CD的解析式为x=3+n，直线CD与直线y=x－1交于点M（3+n，2+n），又∵D的坐标为（3，2），C坐标为（3，－2），∴D通过向下平移4个单位得到C.∵C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，∴四边形CDMN是平行四边形或四边形CDNM是平行四边形．
（i）当四边形CDMN是平行四边形，∴M向下平移4个单位得N，∴N坐标为（3+n，n-2）
又N在抛物线上，∴
解得n1=0（不合题意，舍去），n2=2，
（ii）当四边形CDNM是平行四边形，∴M向上平移4个单位得N，∴N坐标为（3+n，n+6）
又N在抛物线上，∴
解得n1=
（不合题意，舍去），n2=
，
（Ⅱ）设直线CD向左平移n个单位（n＞0）可使得C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，则直线CD的解析式为x=3-n，直线CD与直线y=x－1交于点M（3-n，2-n），又∵D的坐标为（3，2），C坐标为（3，－2），∴D通过向下平移4个单位得到C.∵C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，∴四边形CDMN是平行四边形或四边形CDNM是平行四边形.
（i）当四边形CDMN是平行四边形，∴M向下平移4个单位得N，∴N坐标为（3-n，-2-n），
又N在抛物线上，∴
解得n1=0（不合题意，舍去），n2=-2（不合题意，舍去），
（ii）当四边形CDNM是平行四边形，∴M向上平移4个单位得N，∴N坐标为（3-n，6-n），
又N在抛物线上，∴
解得n1=
，n2=
（不合题意，舍去），
综上所述，直线CD向右平移2或（）个单位或向左平移（）个单位，可使得C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形．
知识点：二次函数-平行四边形的存在性
略
略
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