如图，在等边△ABC的顶点A、C处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以相同的速度由A向B和由C向A爬行，经过t分钟后，它们分别爬行到D、E处，请问（1）在爬行过程中，CD和BE始终相等吗？
（2）如果将原题中的“由A向B和由C向A爬行”，改为“沿着AB和CA的延长线爬行”，EB与CD交于点Q，其他条件不变，如图（2）所示，蜗牛爬行过程中∠CQE的大小保持不变．请利用图（2）情形，求证：∠ CQE =60°；
（3）如果将原题中“由C向A爬行”改为“沿着BC的延长线爬行，连接DE交AC于F”，其他条件不变，如图（3），则爬行过程中，DF始终等于EF是否正确．
答案
解：（1）CD与BE相等。
证明：由于两只蜗牛同时以相同的速度爬行，所以路程相同，即AD=CE。
∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC，∠A=∠BCE；
在△ADC与CEB中
∴△ADC≌△CEB
∴CD=BE
由于t 为任意时刻，所以当t 为任意值时都有CD=BE，即CD和BE始终相等。
（2）证明：由于两只蜗牛以相同速度同时出发，所以路程相同，即AD=CE
∵△ABC是等边三角形
∴AB=AC，∴AD-AB=CE-AC，即AE=BD
而由△ABC是等边三角形还可得
AB=CB，∠CBD=∠BAE=120°
在△EAB和△DBC中
∴△EAB≌△DBC（SAS）
∴∠1=∠4，而∠2=∠3
∴∠1+∠2=∠3+∠4
又∠CQE=∠1+∠2，∠5=∠3+∠4=60°
∴∠CQE=∠5=60°。
（3）正确。
证明：如图，过点D作DG∥BE交AC于点G。
由于△ABC为等边三角形，∴∠A=∠B=60°
∵DG∥BE∴∠1=∠2，∠ADG=∠B=60°，∴△ADG为等边三角形
∴AD=DG
由于蜗牛速度和出发时间相同，所以路程相等，即AD=CE
∴DG=CE
在△DGF和△ECF中
∴△DGF≌△ECF
∴DF=EF
而由于运动时间是任意的，故DF是中等于EF。
知识点：运动变化型问题
当看到动点问题时，首先要分析动点的起点和终点。然后用路程=速度×时间来表示出线段的长度。而在运动过程中考虑线段的变化情况。寻找等量关系证明三角形全等。
将线段表示出来时有一定的难度。
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