已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，有一个圆心角为45°，半径的长等于CA的扇形CEF绕点C旋转，且直线CE，CF分别与直线AB交于点M，N．
（1）当扇形CEF绕点C在∠ACB的内部旋转时，如图①，
求证：MN²=AM²+BN²；
思路点拨：考虑MN²=AM²+BN²符合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解决．可将△ACM沿直线CE对折，得△DCM，连DN，只需证DN=BN，∠MDN=90°就可以了．
请你完成证明过程：
（2）当扇形CEF绕点C旋转至图②的位置时，关系式MN²=AM²+BN²是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
答案
（1）将△ACM沿直线CE对折，得△DCM，连DN，
则△DCM≌△ACM
∴CD=CA，DM=AM，∠DCM=∠ACM，∠CDM=∠A
又∵CA=CB，
∴CD=CB
∴∠DCN=∠ECF-∠DCM
=45°-∠DCM
∠BCN=∠ACB-∠ECF-∠ACM
=90°-45°-∠ACM
=45°-∠ACM
=45°-∠DCM
∴∠DCN=∠BCN
又∵CN=CN
∴△CDN≌△CBN
∴DN=BN，∠CDN=∠B．
∴∠MDN=∠CDM+∠CDN=∠A+∠B=90°
∴在Rt△MDN中，由勾股定理得
MN2=DM2+DN2，即MN2=AM2+BN2
（2）关系式MN2=AM2+BN2仍然成立
将△ACM沿直线CE对折，得△GCM，连GN，
∴△GCM≌△ACM
∴CG=CA，GM=AM，∠GCM=∠ACM，∠CGM=∠CAM
又∵CA=CB，得CG=CB
∵∠GCN=∠GCM+∠ECF=GCM+45°
∴∠BCN=∠ACB-∠ACN=90°-（∠ECF-∠ACM）=45°+∠ACM
得∠GCN=∠BCN
又∵CN=CN
∴△CGN≌△CBN
∵GN=BN，∠CGN=∠B=45°，∠CGM=∠CAM=180°-∠CAB=135°
∴∠MGN=∠CGM-∠CGN=135°-45°=90°
在Rt△MGN中，由勾股定理得，
MN2=GM2+GN2，即MN2=AM2+BN2
（1）考虑MN2=AM2+BN2符合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解决．可将△ACM沿直线CE对折，得△DCM，连DN，只需证DN=BN，∠MDN=90°就可以了；
（2）还将△ACM沿直线CE对折，得△DCM，连DN，△GCM≌△ACM，然后由勾股定理即可证明．
倒角的过程中易出现错误
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