如图1，在正方形ABCD和正方形CGEF（CG＞BC）中，点B，C，G在同一直线上，点M是AE的中点．（1）探究线段MD，MF的位置及数量关系，并证明．（2）将图1中的正方形CGEF绕点C顺时针旋转，使正方形CGEF的对角线CE恰好与正方形ABCD的边BC在同一条直线上，如图2，原问题中的其他条件不变，则（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．（3）若将图1中的正方形CGEF绕点C顺时针旋转任意角度，如图3，原问题中的其他条件不变，则（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．
答案
解（1）MD⊥MF且MD＝MF证明：延长DM交EF于点N
∵AD∥EF
∴∠MAD＝∠MEN
∵∠AMD＝∠EMN，AM＝EM
∴△AMD≌△EMN
∴AD＝EN，DM＝NM
∵EF＝CF，AD＝CD
∴EF-EN＝CF-AD＝CF-CD，即：FD＝FN
∴ △DFN是等腰直角三角形
∴MD⊥MF且MD＝MF
（2）不发生改变证明：延长DM交CE于点N，连接DF、FN
∵AD∥CE
∴∠MAD＝∠MEN
∵∠AMD＝∠EMN，AM＝EM
∴△AMD≌△EMN
∴AD＝EN，DM＝NM
∵AD＝CD
∴EN＝CD
∵FE＝FC，∠FEN＝∠FCD
∴△FEN≌△FCD
∴FN＝FD，∠EFN＝∠CFD
∴∠DFN＝∠EFC＝90°
∴ △DFN是等腰直角三角形
∴MD⊥MF且MD＝MF
（3）不发生改变证明：过点E做AD的平行线交DM的延长线于点N，连接DF、FN
∵AD∥EN
∴∠MAD＝∠MEN
∵∠AMD＝∠EMN，AM＝EM
∴△AMD≌△EMN
∴AD＝EN，DM＝NM
∵AD＝CD
∴EN＝CD
∵CD⊥NE，EF⊥CF
∴∠FEN＝∠FCD
∵FE＝FC
∴△FEN≌△FCD
∴FN＝FD，∠EFN＝∠CFD
∴∠DFN＝∠EFC＝90°
∴ △DFN是等腰直角三角形
∴MD⊥MF且MD＝MF
知识点：四边形中的类比探究
略
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