如图，抛物线与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，-3），设抛物线的顶点为D．
（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标；
（2）以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形吗？请证明你的结论．
（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
答案
（1）由A（－1，0），B（3，0），C（0，－3）可得解析式：
∴顶点D（1，-4）
（2）以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形，理由如下：
过点D分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F．
在Rt△BOC中，OB=3，OC=3，∴BC=
，
在Rt△CDF中，DF=1，CF=OF-OC=4-3=1，∴CD=
，
在Rt△BDE中，DE=4，BE=OB-OE=3-1=2，∴BD=
，
∴BC2+CD2=BD2，故△BCD为直角三角形．
（3）存在；理由：连接AC，则易证Rt△AOC∽Rt△DCB，
∴∠CDB=∠OAC，∠DBC=∠ACO
①当P在x轴上时，若∠APC=90°，则PC⊥x轴，
∴P与O重合，此时Rt△APC∽Rt△DCB，符合题意，∴P1（0，0）
若∠ACP=90°，∵∠CDB=∠OAC，易证Rt△APC∽Rt△DCB，符合题意，
∴Rt△AOC∽Rt△ACP，
∴
，
∴OP=9，
∴P2（9，0）
②当P在y轴上时，若∠APC=90°，P与O重合，
若∠PAC=90°，∵∠DBC=∠ACO，
易证Rt△DCB∽Rt△PAC，符合题意，易证Rt△POA∽Rt△AOC，
∴
，
∴OP=
，
∴P3（0，）
综上所述符合条件的P点有三个：P1（0，0），P2（9，0），P3（0，）
知识点：二次函数综合题
略
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