已知：如图，D为线段AB的中点，在AB上任取一点C（不与点A，B，D重合），分别以AC，BC为斜边在AB同侧作等腰Rt△ACE与等腰Rt△BCF，∠AEC=∠CFB=90°，连接DE，DF，EF．
求证：△DEF为等腰直角三角形．

答案

证明：延长ED到点G，使得DG=DE，连接BG，FG

      ∵D为线段AB的中点
      ∴AD=BD
      在△EDA和△GDB中

      ∴△EDA≌△GDB（SAS）
      ∴EA=GB，∠A=∠GBD
      ∵△ACE与△BCF是等腰直角三角形
      ∴AE=CE=BG，
        CF=FB，
        ∠A=∠ECA=∠FCB=∠FBC=45°
      ∴∠ECF=90°，
        ∠FBG=∠FBD+∠GBD=90°
      在△ECF和△GBF中

      ∴△ECF≌△GBF（SAS）
      ∴EF=GF，∠EFC=∠GFB
      ∵∠CFB=∠CFG+∠GFB=90°
      ∴∠EFG=∠EFC+∠CFG=90°
      在△EFD和△GFD中，

      ∴△EFD≌△GFD（SSS）
      ∴∠EDF=∠GDF=90°，
        ∠EFD=∠GFD=45°
      ∴ED=DF
      ∴△DEF为等腰直角三角形