等腰△ABC，AB=AC=8，∠BAC=120°，P为BC的中点，小慧拿着含30°角的透明三角板，使30°角的顶点落在点P，三角板绕P点旋转．（1）如图1，三角板两边分别交AB，AC于点E，F时，求证：△BPE∽△CFP；（2）操作：将三角板绕点P旋转到图2的情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E，F．①探究1：△BPE与△CFP还相似吗？（只需写出结论）②探究2：连接EF，△BPE与△PFE是否相似？请说明理由．③设EF=m，△EPF的面积为S，试用含m的代数式表示S．
答案
（1）证明：∵AB=AC，∠BAC=120°
∴∠B=∠C=30°
∵∠EPF=30°
∴∠BPE+∠CPF=150°
∵∠BPE+∠BEP=150°
∴∠CPF=∠BEP
∴△BPE∽△CFP
（2）解：①相似②相似，理由如下：
∵△BPE∽△CFP
∴
∵BP=CP
∴
∵∠B=∠EPF
∴△BPE∽△PFE
③连接AP，过P作PM⊥AB、PN⊥EF，分别交AB，EF的延长线于点M，N．
∵AB=AC，P为BC的中点
∴AP⊥BC由（1）得：∠B=30°
∴BP=
∵PM⊥AB
∴PM=
由上问知：△BPE∽△PFE
∴∠BEP=∠PEF
∴EP是∠BEF的平分线
∴PM=PN=
∴S△EPF=
=
=
知识点：相似综合模型
略
略
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