如图．在直角坐标系中．抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)与x轴交于A(-1，0)、B(3，0)两点：抛物线交y轴干点C(0，3)．点D为抛物线的顶点．直线y=x-1交抛物线于点M、N两点，过线段MN上一点P作y轴的平行线交抛物线于点Q．
（1）求此抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）问点P在何处时，线段PQ最长，最长为多少?
（3）设E为线段OC上的三等分点．连接EP、EQ．若EP=EQ时．求点P的坐标．

第一步：从A、B、C三点坐标入手，代入求出二次函数表达式y=-x²+2x+3，再由表达式得到顶点D的坐标为D（1，4）；
第二步：研究PQ何时最长，需要表达PQ长度，注意到P、Q两点横坐标相同，并且分别在直线和抛物线上，所以可以设P（m，m-1），Q（m，-m²+2m+3），则，所以点P坐标为时，PQ最大值为；
第三步：根据题目，E点可能有两个位置，E（0，1），或者E（0，2），若EP=EQ，则根据性质可知，点E的纵坐标等于P、Q纵坐标和的一半．则仍然可设P（n，n-1），Q（n，-n²+2n+3）由题意得，或解得n₁=1，n₂=2，n₃=0，n₄=3，结合题意P在线段M上并且不在y轴上，所以只能取n₁=1，n₂=2，此时P（1，0），或P（2，1）

略