如图，一次函数y=ax+b的图象与x轴，y轴交于A，B两点，与反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ 的图象相交于C，D两点，分别过C，D两点作y轴,x轴的垂线，垂足为E,F，连接CF，DE．有下列四个结论：
①△CEF与△DEF的面积相等；
②△AOB∽△FOE；
③△DCE≌△CDF；
④AC=BD
其中正确的结论是_______

答案

①②④

∵ $S_{\triangle DFE}=S_{\triangle DFO}=\frac{1}{2} |DF||OF|=\frac{k}{2}$
∴①正确；

由①知 $S_{\triangle CEF}=S_{\triangle DFE}=\frac{k}{2}$
以EF作底,则C、D到直线EF距离相等，∴EF‖AB，
∴ $\triangle AOB\sim \triangle FOE$ ，②正确

当|AO|≠|BO|时（即a≠1时），
∵ $\triangle AOB\sim \triangle FOE$
∴|OE|≠|OF|,
∵ $S_{\triangle CEF}=S_{\triangle DEF}$
∴|CE|≠|DF|
在ΔDEF和ΔCEF中知|CE|≠|CF|，|DF|≠|DE|
③要求 $\triangle DCE\cong \triangle CDF$ ，而对应边不相等，所以③错误；
特殊值法，取一次函数解析式为y=2x+1，反比例函数解析式为 $y=\frac{1}{x}$
则
∵EF∥CD，BO∥DF
∴四边形BEFD为平行四边形
∴BD=EF
∵EF∥CD，AF∥CE
∴四边形ACEF为平行四边形
∴AC=EF
∴AC=BD
∴④成立
正确命题为①②④

反比例函数性质，三角形等底等高形式的面积转换

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