如图1，在等腰三角形ABC中，∠A=120°，AB=AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD=AE，连接BE，点M，N，P分别为DE，BE，BC的中点．
（1）观察猜想
图1中，线段NM，NP的数量关系是           ，∠MNP的大小为         ；
（2）探究证明
把△ADE绕点A顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接MP，BD，CE，判断△MNP的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸
把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=1，AB=3，请求出△MNP面积的最大值．

如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．
（1）求证：四边形OEFG是矩形；
（2）若AD=10，EF=4，求OE和BG的长．

探索发现
如图1，是一张直角三角形纸片，∠B=90°，小明想从中剪出一个以∠B为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE，EF剪下时，所得的矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为        ．
拓展应用
如图2，在△ABC中，BC=a，BC边上的高AD=h，矩形PQMN的顶点P，N分别在边AB，AC上，顶点Q，M在边BC上，则矩形PQMN面积的最大值为          （用含a，h的代数式表示）．
灵活应用
如图3，有一块“缺角矩形”ABCDE，AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，小明从中剪出了一个面积最大的矩形（∠B为所剪出矩形的内角），求该矩形的面积．
实际应用
如图4，现有一块四边形的木板余料ABCD，经测量AB=50cm，BC=108cm，CD=60cm，且tanB=tanC=，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M，N在边BC上且面积最大的矩形PQMN，求该矩形的面积．

阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形的重心．
（1）特例感知：如图1，已知边长为2的等边△ABC的重心为点O，求△OBC与△ABC的面积．
（2）性质探究：如图2，已知△ABC的重心为点O，请判断，是否都为定值？如果是，分别求出这两个定值；如果不是，请说明理由．
（3）性质应用：如图3，在正方形ABCD中，点E是CD的中点，连接BE交对角线AC于点M．
①若正方形ABCD的边长为4，求EM的长度；
②若S_△CME=1，求正方形ABCD的面积．

（2019长春）教材呈现：下面是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容．
例2，如图，在△ABC中，D，E分别是边BC，AB的中点，AD，CE相交于点G，求证：．
证明：连接ED．

请根据教材提示，结合图1，写出完整的证明过程．
结论应用：在□ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E为边BC的中点，AE，BD交于点F．
（1）如图2，若□ABCD为正方形，且AB=6，则OF的长为           ；
（2）如图3，连接DE交AC于点G，若四边形OFEG的面积为，则□ABCD的面积为           ．