如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，弦DF与半径OB相交于点P，连结EF、EO，若 $DE=2\sqrt{3}$ ， $\angle DPA=45^{o}$ ．
（1）求⊙O的半径;
（2）求图中阴影部分的面积．

答案

（1） 2　　　（2）π－2

（1）设⊙O的半径为 $r$ ，在Rt△OCE中，OC= $\frac{r}{2}$ ，OE= $r$ ，CE= $\frac{DE}{2}=\sqrt{3}$ ，由勾股定理求得 $r=2$ 。
（2）连结OF。在Rt△CDP中，∠DPA=45°，所以∠CDP=45°，由圆周角定理知∠EOF=2∠CEP=90°，所以扇形OEF的面积为 $\frac{n\pi r^{2}}{360}=\frac{90\pi \times 2^{2}}{360}=\pi$ ，又Rt△OEF的面积为 $\frac{1}{2}r^{2}=\frac{1}{2}\times 2^{2}=2$ ，所以阴影部分面积为 $\pi-2$ 。