（2011浙江绍兴）抛物线与y轴交于点A，顶点为B，对称轴BC与x轴交于点C．（1）如图1，求点A的坐标及线段OC的长；（2）点P在抛物线上，直线PQ//BC交x轴于点Q，连结BQ．①若含45°角的直角三角板如图2所示放置，其中，一个顶点与点C重合，直角顶点D在BQ上，另一个顶点E在PQ上，求直线BQ的函数解析式；②若含30°角的直角三角板一个顶点与点C重合，直角顶点D在直线BQ上，另一个顶点E在PQ上，求点P的坐标．图1图2

答案

解：（1）把x=0代入抛物线得：y=，∴点A(0，)
抛物线对称轴为：x=1，∴OC=1．
（2）①点B为（1,3），分别过点D作DM⊥x轴于M，DN⊥PQ于点N．

∵PQ∥BC，
∴∠DMQ=∠DNQ=∠MQN=90°，
∴DMQN为矩形．
∵△CDE是等腰直角三角形，
∴DC=DE,∠CDM=∠EDN，
又∵∠CMD=∠END,
∴△CDM≌△EDN,
∴DM=DN,
∴DMQN是正方形，∠BQC=45°．
∴CQ=CB=3，Q为（4,0）
设直线BQ为：y=kx+b,则：
，解得．
∴直线BQ的解析式为：y=-x+4．
②当点P在对称轴右侧时，如图：

过点D作DM⊥x轴于M，DN⊥PQ于N，
∵∠CDE=90°，
∴∠CDM=∠EDN．
∴△CDM∽△EDN．当∠DCE=30°时，．
∵DN=MQ，
∴．
∵△DMQ∽△BCQ，
∴，BC=3，
∴CQ=．
∴Q点为（，0），P₁点为（，）．
当∠DCE=60°时，，
CQ=．
Q点为（1+，0），P₂点为（1+，）．
当点P在对称轴左边时，由对称性知：P₃点为（，），P₄点为（1－，）．
综上所述：P₁（，），P₂（1+，），P₃（，），P₄（1－，）．

知识点：二次函数动点问题  

略

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