（2012温州）如图，经过原点的抛物线与x轴的另一个交点为A.过点P（1,m）作直线轴于点M，交抛物线于点B.记点B关于抛物线对称轴的对称点为C（B、C不重合）.连结CB,CP.（1）当m=3时，求点A的坐标及BC的长；（2）当m＞1时，连结CA，问m为何值时CA⊥CP？（3）过点P作且PE=PC，问是否存在m，使得点E落在坐标轴上？若存在，求出所有满足要求的m的值，并定出相对应的点E坐标；若不存在，请说明理由.

答案

解：（1）当m=3时，y=-x²+6x．
令y=0得：-x²+6x=0，∴x₁=0，x₂=6，∴A（6，0）．
当x=1时，y=5,∴B（1，5）
∵抛物线y=-x²+6x的对称轴为直线x=3,B，C关于对称轴x=3对称,∴BC=4．
（2）过点C作CH⊥x轴于点H（如图1）

由已知得∠ACP=∠BCH=90°
∴∠ACH=∠PCB
又∵∠AHC=∠PBC=90°
∴△ACH∽△PCB，
∴，
∵抛物线y=-x²+2mx的对称轴为直线x=m，其中m＞1，B，C关于对称轴对称，
∴BC=2（m-1），
∵B（1，2m-1），P（1，m），
∴BP=m-1，
又∵A（2m，0），C（2m-1，2m-1），
∴H（2m-1，0）．
∴AH=1，CH=2m-1，
∴，
∴m=．
（3）∵B，C不重合，∴m≠1，
（I）当m＞1时，BC=2（m-1），PM=m，BP=m-1，
（i）若点E在x轴上（如图1），
∵∠CPE=90°，
∴∠MPE+∠BPC=∠MPE+∠MEP=90°，
∴∠BPC=∠MEP．
∵PC=EP，∠CBP=∠PME=90°，
∴△BPC≌△MEP，
∴BC=PM，
∴2（m-1）=m，
∴m=2，ME=BP=m-1=1,此时点E的坐标是（2，0）；
（ii）若点E在y轴上（如图2），过点P作PN⊥y轴于点N，
易证△BPC≌△NPE，
∴BP=NP=OM=1，
∴m-1=1，
∴m=2，NE=BC=2(m-1)=2,ON=m=2,OE=4，
此时点E的坐标是（0，4）；
（II）当0＜m＜1时，BC=2（1-m），PM=m，BP=1-m，
（i）若点E在x轴上（如图3），

易证△BPC≌△MEP，
∴BC=PM，
∴2（1-m）=m，
∴m=，ME=BP=1-m=,
此时点E的坐标是（，0）；
（ii）若点E在y轴上（如图4），过点P作PN⊥y轴于点N，
易证△BPC≌△NPE，
∴BP=NP=OM=1，
∴1-m=1，
∴m=0（舍去），
综上所述，当m=2时，点E的坐标是（0，2）或（0，4），当m=时，点E的坐标是（，0）．

知识点：二次函数动点问题  

略

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