（2011广西钦州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C(0，4)，顶点为(1，)．（1）求抛物线的函数解析式；（2）抛物线的对称轴与x轴交于点D，点P在对称轴上且使△CDP为等腰三角形．请直接写出满足条件的所有点P的坐标；（3）若点E是线段AB上的一个动点(与点A、B不重合)，连接AC、BC，过点E作EF∥AC交线段BC于点F，连接CE，记△CEF的面积为S，S是否存在最大值？若存在，请求出S的最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．

答案

解：（1）∵抛物线的顶点为（1，）
∴设抛物线的函数关系式为y=a（x-1）²+
∵抛物线与y轴交于点C（0，4），
∴a（0-1）²+=4,解得a=
∴所求抛物线的函数关系式为y=（x-1）²+
（2）P₁（1，），P₂（1，），P₃（1，8），P₄（1，）．
（3）存在．
令（x-1）²+=0，
解得x₁=-2，x₂=4
∴抛物线y=（x-1）²+与x轴的交点为A（-2，0）、B（4，0）
过点F作FM⊥OB于点M，

∵EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC，
∴．
又∵OC=4，AB=6，
∴MF=×OC=EB．
设E点坐标为（x，0），则EB=4-x，MF=（4-x）．
∴S=S_△BCE-S_△BEF=EB•OC-EB•MF=EB（OC-MF）=（4-x）[4-（4-x）]
∵＜0，
∴S有最大值．当x=1时，S_最大值=3．
此时点E的坐标为（1，0）．

知识点：二次函数面积问题  

略

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