（2011年广西北海）如图，抛物线：y＝ax2＋bx＋4与x轴交于点A(－2，0)和B(4，0)、与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）T是抛物线对称轴上的一点，且△ACT是以AC为底的等腰三角形，求点T的坐标；（3）点M、Q分别从点A、B以每秒1个单位长度的速度沿x轴同时出发相向而行．当点M原点时，点Q立刻掉头并以每秒个单位长度的速度向点B方向移动，当点M到达抛物线的对称轴时，两点停止运动．过点M的直线l⊥x轴，交AC或BC于点P．求点M的运动时间t(秒)与△APQ的面积S的函数关系式，并求出S的最大值．
答案
解：（1）把A（-2，0），B（4，0）
代入y=ax2+bx+4得：
，解得：
∴抛物线的解析式是：y=
．
（2）由y==
，
得抛物线的对称轴为直线x=1，
直线x=1交x轴于点D，设直线x=1上一点T（1，h），
连接TC、TA，作CE⊥TD，垂足是E，由C（0，4）得点E（1，4），
在Rt△ADT和Rt△TEC中，由TA=TC得:32+h2=12+（4-h）2，
∴h=1，
∴T的坐标是（1，1）．
（3）（I）当0＜t≤2时，设AM=t，
则BQ=t，AQ=6-t
△AMP∽△AOC，
∴
，PM=2t．
∴S=
PM•AQ=×2t（6-t）=-（t-3）2+9，
当t=2时S的最大值为8；
（II）当2＜t≤3时，作PF⊥y轴于F，
由于△COB∽△CFP，CO=OB，
∴FP=FC=t-2．
PM=4-（t-2）=6-t，
AQ=
，
S=
，
当t=
时，则S的最大值为
，
综合（I）（II）,S的最大值为．
∴点M的运动时间t与△APQ面积S的函数关系式是：S=-t2+6t（0＜t≤2），S=-3 4t2+4t+3（2＜t≤3），S的最大值是．
知识点：二次函数面积问题
略
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