已知二次函数y=ax²+bx-2的图象经过点A（1，0）及B（-2，0）两点．（1）求二次函数的表达式及抛物线顶点M的坐标；（2）若点N为线段BM上的一点，过点N作x轴的垂线，垂足为点Q，当点N在线段BM上运动时（点N不与点B、点M重合），设NQ的长为t，四边形NQAC的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出四边形NQAC的面积的最大值；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PAC为直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标

答案

解：（1）∵二次函数y=ax²+bx-2的图象经过点A（1，0），B（-2，0），
∴解得：
∴二次函数的表达式为：y=x²+x-2．y=x²+x-2=(x+)²-
∴顶点M坐标为：（，）．
（2）由二次函数表达式可知C点坐标为（0，-2），
由B、M坐标可知BM所在直线的解析式为：y=x-3，
∵点N为线段BM上的一动点，且NQ⊥x轴，
∴N、Q两点横坐标相同，且NQ∥OC，
∴四边形QNCO为梯形．
令x-3=-t，解得：x=
∴点N坐标为（，-t），Q坐标为（，0），其中（0＜t＜）．
∴OQ=,OC=2,OA=1,NQ=t．
S_{四边形QNCA}=S_梯形NCOQ+S_△AOC=(NQ+OC)OQ+OAOC
=(t+2)（）+12=（0＜t＜）
∴S与t函数关系为：S=（0＜t＜），S_最大=
（3）存在，点P坐标为（，），（，），（，），（，）

知识点：二次函数综合题  

略

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