如图1，在正方形ABCD和正方形CGEF（CG＞BC）中，点B，C，G在同一直线上，点M是AE的中点．
（1）探究线段MD，MF的位置及数量关系，并证明．
（2）若将图1中的正方形CGEF绕点C顺时针旋转，使D，C，G三点在一条直线上，如图2，其他条件不变，则（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．
（3）将图1中的正方形CGEF绕点C顺时针旋转，使正方形CGEF的对角线CE恰好与正方形ABCD的边BC在同一条直线上，如图3，其他条件不变，则（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．
答案
解：(1)MD=MF且MD⊥MF，理由如下：
如图1：
延长DM交EF于点N．
在正方形ABCD和正方形CGEF中：
AD=CD，FC=FE
∠ADC=∠CFE=90°
∴AD∥EF
∴∠1=∠2
∵M是AE的中点
∴AM=EM
∴在△ADM和△ENM中
∴△ADM≌△ENM(ASA)
∴AD=EN
DM=NM
∵AD=CD
∴CD=EN
∴FD=FN
∵DM=NM
∴MD⊥MF，∠DFM=
∠DFN=45°
∴∠DFM=∠FDM=45°
∴MD=MF
(2)MD⊥MF且MD=MF．理由如下：
如图2：
延长DM交GE于点N，
连接FD，FN
在正方形ABCD和正方形CGEF中：
AD=CD，CF=EF
∠ADC=∠G=∠CFE=90°
∴AD∥GE，∠DCF=∠NFE=90°
∴∠1=∠2
∵M是AE中点
∴AM=EM
∴在△ADM和△ENM中：
∴△ADM≌△ENM(ASA)
∴AD=EN，DM=NM
∵AD=CD
∴CD=EN
∴在△FCD和△FEN中
∴△FCD≌△FEN(SAS)
∴FD=FN，∠5=∠6
∵∠CFE=90°
∴∠6+∠CFN=90°
∴∠5+∠CFN=90°
即∠DFN=90°
∵DM=NM
∴MD⊥MF，∠DFM=∠DFN=45°
∠MDF=∠DFM=45°
∴MD=MF
(3)（1）中的两个结论不变．理由如下：
如图3：
延长DM交CE于N，
连接FD，FN．
在正方形ABCD：
AD=CD，AD∥BC，∠DCB=90°
∴∠DCE=90°，∠1=∠2
在正方形CGEF中：
∠CFE=90°，∠FCE=∠FEC=45°，CF=EF
∴∠DCF=∠NEF=45°
∵M为AE中点
∴AM=EM
在△ADM和△ENM中：
∴△ADM≌△ENM(ASA)
∴AD=EN，DM=NM
∵AD=CD
∴CD=EN
在△FDC和△FNE中
∴△FDC≌△FNE(SAS)
∴∠5=∠6，FD=FN
∵∠CFE=90°
∴∠6+∠CFN=90°
∴∠5+∠CFN=90°
即∠DFN=90°
∵DM=NM
∴FM⊥DM，∠DFM=∠DFN=45°
∴∠MDF=∠DFM=45°
∴MD=MF
知识点：三角形全等中的类比探究
略
略
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