(2010浙江金华)如图，把含有30°角的三角板ABO置入平面直角坐标系中，A，B两点坐标分别为（3，0）和(0，3）．动点P从A点开始沿折线AO-OB-BA运动，点P在AO，OB，BA上运动，速度分别为1，，2 (长度单位/秒).一直尺的上边缘l从x轴的位置开始以(长度单位/秒)的速度向上平行移动（即移动过程中保持l∥x轴），且分别与OB，AB交于E，F两点．设动点P与动直线l同时出发，运动时间为t秒，当点P沿折线AO-OB-BA运动一周时，直线l和动点P同时停止运动．请解答下列问题：
（1）过A，B两点的直线解析式是；
（2）当t﹦4时，点P的坐标为；当t﹦，点P与点E重合；
（3）①作点P关于直线EF的对称点P′．在运动过程中，若形成的四边形PEP′F为菱形，则t的值是多少？
②当t﹦2时，是否存在着点Q，使得△FEQ∽△BEP?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

答案

解：（1）；（2）（0，），t=；（3）①当点P在线段AO上时，过F作FG⊥x轴，G为垂足（如图1）

∵OE=FG，EP=FP，∠EOP=∠FGP=90°
∴△EOP≌△FGP，
∴OP=PG﹒
又∵OE=FG=t，∠A=60°，
∴AG==
,而AP=t，
∴OP=3－t，PG=AP－AG=t，
由3－t=得t=；
当点P在线段OB上时，形成的是三角形，不存在菱形；
当点P在线段BA上时，过P作PH⊥EF，PM⊥OB，H、M分别为垂足（如图2）
∵OE=t，
∴BE=，
∴EF=,
∴MP=EH=EF=，
又∵BP=2（t－6）
在Rt△BMP中，BP•cos60°=MP
即，解得t=．
②存在．理由如下：
∵t=2，
∴OE=，AP=2，OP=1
将△BEP绕点E顺时针方向旋转90°，得到△B'EC
∵OB⊥EF，
∴点B'在直线EF上，C点坐标为
过F作FQ∥B'C，交EC于点Q，
则△FEQ∽△B'EC
由，可得Q的坐标为，
根据对称性可得，Q关于直线EF的对称点Q'也符合条件．

知识点：中考压轴之圆  

（1）考查了待定系数法求一次函数；
（2）此题要掌握点P的运动路线，要掌握点P在不同阶段的运动速度，即可求得；
（3）①此题需要分三种情况分析：点P在线段OA上，在线段OB上，在线段AB上；根据菱形的判定可知：在线段EF的垂直平分线上与x轴的交点，可求的一个；当点P在线段OB上时，形成的是三角形，不存在菱形；当点P在线段BA上时，根据对角线互相平分且互相垂直的四边形是菱形求得．
②当t﹦2时，可求的点P的坐标，即可确定△BEP，根据相似三角形的判定定理即可求得点Q的坐标，解题时要注意答案的不唯一性．

略

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