（2009浙江义乌）已知点A、B分别是x轴、y轴上的动点，点C、D是某个函数图象上的点，当四边形ABCD（A、B、C、D各点依次排列）为正方形时，称这个正方形为此函数图象的伴侣正方形．例如：如图，正方形ABCD是一次函数
图象的其中一个伴侣正方形．（1）若某函数是一次函数，求它的图象的所有伴侣正方形的边长；（2）若某函数是反比例函数
，它的图象的伴侣正方形为ABCD，点D（2，m）（m<2）在反比例函数图象上，求m的值及反比例函数解析式；（3）若某函数是二次函数
，它的图象的伴侣正方形为ABCD，C、D中的一个点坐标为（3，4）．写出伴侣正方形在抛物线上的另一个顶点坐标 ，写出符合题意的其中一条抛物线解析式 ，并判断你写出的抛物线的伴侣正方形的个数是奇数还是偶数？ ．(本小题只需直接写出答案)
图象的其中一个伴侣正方形．（1）若某函数是一次函数
，它的图象的伴侣正方形为ABCD，点D（2，m）（m<2）在反比例函数图象上，求m的值及反比例函数解析式；（3）若某函数是二次函数
，它的图象的伴侣正方形为ABCD，C、D中的一个点坐标为（3，4）．写出伴侣正方形在抛物线上的另一个顶点坐标 ，写出符合题意的其中一条抛物线解析式 ，并判断你写出的抛物线的伴侣正方形的个数是奇数还是偶数？ ．(本小题只需直接写出答案)
答案
解：
（1）如图1，当点A在x轴正半轴，点B在y轴负半轴上时，
∵OC=OD=1，
∴正方形ABCD的边长CD=
；
当点A在x轴负半轴、点B在y轴正半轴上时，
设正方形的边长为a，易得3a=CD=．
解得a=
，所以正方形边长为，
∴一次函数y=x+1图象的伴侣正方形的边长为或；
（2）
如图2，分别过点D、点C作DE，CF垂直于x轴、y轴，
易知△ADE≌△BAO≌△CBF
此时，m＜2，DE=OA=BF=m，OB=CF=AE=2-m，
∴OF=BF+OB=2，
∴C点坐标为（2-m，2），
∴2m=2（2-m）
解得m=1．
反比例函数的解析式为
．
（3）∵二次函数
它的图象的伴侣正方形为ABCD，
∴C、D中的一个点坐标为（3，4）代入二次函数，
得抛物线上另外一个顶点为：（-1，3）；（7，-3）；（-4，7）；（4，1）．
对应的抛物线分别为：
；
；
；
．
∵由抛物线的伴侣正方形的定义知，一条抛物线有两个伴侣正方形，是成对出现的，
∴所求出的任何抛物线的伴侣正方形个数为偶数．
知识点：中考压轴之几何三大变换问题
知A、B为坐标轴上两点，C、D为函数图象上的两点：
（1）先正确地画出图形，再利用正方形的性质确定相关点的坐标从而计算正方形的边长，注意思维的严密性．
（2）因为ABCD为正方形，所以可作垂线得到等腰直角三角形，利用点D（2，m）的坐标表示出点C的坐标从而求解．
（3）注意思维的严密性，抛物线开口既可能向上，也可能向下．当抛物线开口向上时，正方形的另一个顶点也是在抛物线上，这个点既可能在点（3，4）的左边，也可能在点（3，4）的右边，过点（3，4）向x轴作垂线，利用全等三角形确定线段的长即可确定抛物线上另一个点的坐标；当抛物线开口向下时也是一样地分为两种情况来讨论．
略
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