如图所示， $P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2),...,P_n(x_n,y_n)$ 在函数 $y=\frac{9}{x}$ （x＞0）的图象上 $\triangle OP_1A_1,\triangle P_2A_1A_2,\triangle P_3A_2A_3,...,\triangle P_nA_{n-1}A_n$ 都是等腰直角三角形，
斜边 $OA_1,A_1A_2,...,A_{n-1}A_n$ 都在x轴上，则 $y_1+y_2+...+y_n$ =______。

答案

$3\sqrt{n}$

过 $P_n$ 做 $P_nQ_n\perp A_{n-1}A_n$ 于 $Q_n$ ，
∴ $P_nQ_n=y_n$ ， $OQ_n=OA_1+A_1A_2+A_2A_3+...+A_{n-1}Q_n=2y_1+2y_1+...+y_n$
∴ $S_n=S_{\triangle OP_nQ_n}=0.5OQ_n\times P_nQ_n=0.5(2y_1+2y_2+...+yn)=\frac{9}{2}$
∴当n=1时，有 $S_1=\frac{1}{2}y_1y_1=\frac{1}{2}y_1^2=\frac{9}{2}$
当n=2时，有 $S_2=\frac{1}{2}(2y_1+y_2)y_2=\frac{9}{2}$
$S_3=0.5(2y_1+2y_2+y_3)y_3=\frac{9}{2}$
......
∴ $S_1+S_2=0.5y_1^2+0.5(2y_1+y_2)y_2=0.5(y_1+y_2)^2=2\times \frac{9}{2}$ ，
$S_1+S_2+S_3=0.5(y_1+y_2)^2+0.5(2y_1+2y_2+y_3)y_3=0.5(y_1+y_2+y_3)^2=3\times \frac{9}{2}$ ，
......
$S_1+S_2+S_3+...+S_n=\frac{1}{2}(y_1+y_2+y_3+...+y_n)^2=\frac{9n}{2}$
∴ $(y_1+y_2+y_3+...+y_n)^2=9n$
$y_n>0,$ 所以 $y_1+y_2+...+y_n=3\sqrt{n}$