如图，∠AOB=30° 过OA上到点O的距离为1，3，5，7，…的点作OA的垂线，分别与OB相交，得到图所示的阴影梯形，它们的面积依次记为 $S_1,S_2,S_3,$ …,则 $S_1$ =______， $S_{2011}$ =______.

答案

$\frac{4\sqrt{3}}{3}$ ; $\frac{16084\times \sqrt{3}}{3}$

梯形面积=0.5×(上底+下底)×高 =中位线×高，
对于第一个阴影梯形，中位线长 = $\frac{1+3}{2}tan30=2tan30$ ，高是2，
∴ $S_1=2tan30\times 2=\frac{4\sqrt{3}}{3}$ 。
根据S1的计算方法我们可以算出
$S_2=6tan30\times 2, S_3=10tan30\times 2,...$
∴ $S_n=(4n-2)tan30\times 2$ ，
∴ $S_{2011}=(4\times 2011-2)tan30\times 2=\frac{16084\sqrt{3}}{3}$

规律总结方法

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如图，∠AOB=30° 过OA上到点O的距离为1，3，5，7，…的点作OA的垂线，分别与OB相交，得到图所示的阴影梯形，它们的面积依次记为…,则=______，=______.

答案

如图，∠AOB=30° 过OA上到点O的距离为1，3，5，7，…的点作OA的垂线，分别与OB相交，得到图所示的阴影梯形，它们的面积依次记为 $S_1,S_2,S_3,$ …,则 $S_1$ =______， $S_{2011}$ =______.