在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²-2ax-3a（a≠0）顶点为P．
（1）求抛物线y=ax²-2ax-3a顶点P的坐标（用含a的代数式表示）；
（2）该抛物线是否过定点？若过定点，请求出定点坐标；
（3）若抛物线y=ax²-2ax-3a经过(1，3)．
①求a的值；
②点Q(m，n)在该二次函数的图象上，若点Q到y轴的距离小于2，请直接写出n的取值范围；
（4）已知A(-1，-2)，B(5，-2)，抛物线y=ax²-2ax-3a与线段AB有唯一公共点，直接写出a的取值范围．

已知抛物线y=ax²+bx+3a与y轴交于点P，将点P向右平移4个单位得到点Q，点Q也在抛物线上．
（1）抛物线的对称轴是直线x=        ；
（2）用含a的代数式表示b；
（3）已知点M(1，1)，N(4，4a-1)，抛物线与线段MN恰有一个公共点，求a的取值范围．