从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的优美线．
（1）如图，在△ABC中，AD为角平分线，∠B=50°，∠C=30°，求证：AD为△ABC的优美线；
（2）在△ABC中，∠B=46°，AD是△ABC的优美线，且△ABD是以AB为腰的等腰三角形，求∠BAC的度数．

（2021武汉）如图是由小正方形组成的5×7网格，每个小正方形的顶点叫做格点，矩形ABCD的四个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．在图中，先在边AB上画点E，使AE=2BE，再过点E画直线EF，使EF平分矩形ABCD的面积．

如图，MN经过△ABC的顶点A，MN∥BC，AM=AN，MC交AB于D，NB交AC于E，连接DE．
（1）求证：△ADE∽△ABC；
（2）如果DE=1，BC=3，求MN的长．

如图，在△ABC中，AB=5，D为边AB上一动点，以CD为一边作正方形CDEF，当点D从点B运动到点A时，点E运动的路径长为____．

（2020呼和浩特）如图，把某矩形纸片ABCD沿EF，GH折叠（点E，H在AD边上，点F，G在BC边上），使点B和点C落在AD边上同一点P处，点A的对称点为A′，点D的对称点为D′，若∠FPG=90°，S_△A′EP=8，S_△D′PH=2，则矩形ABCD的长为(    )

（2021娄底）如图，直角坐标系中，以5为半径的动圆的圆心A沿x轴移动，当⊙A与直线：只有一个公共点时，点的坐标为(    )

（2021贺州）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，点O在AB上，OB=2，以OB为半径的⊙O与AC相切于点D，交BC于点E，则CE的长为(    )

（2021恩施）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，E为BD与正方形网格线的交点，下列结论正确的是(    )

如图，菱形ABCD的边长为20cm，∠ABC=120°．动点P，Q同时从点A出发，其中P以4cm/s的速度，沿A→B→C的路线向点C运动；Q以cm/s的速度，沿A→C的路线向点C运动．当P，Q到达终点C时，整个运动随之结束，设运动时间为t秒．
（1）在点P，Q运动过程中，请判断PQ与对角线AC的位置关系，并说明理由；
（2）若点Q关于菱形ABCD的对角线交点O的对称点为M，过点P且垂直于AB的直线l交菱形ABCD的边AD（或CD）于点N．
①当t为何值时，点P，M，N在同一直线上？
②当点P，M，N不在同一直线上时，是否存在这样的t，使得△PMN是以PN为一直角边的直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．

（2021赤峰）数学课上，有这样一道探究题．
如图，已知△ABC中，AB=AC=m，BC=n，∠BAC=α（0°<α<180°），点P为平面内不与点A，C重合的任意一点，连接CP，将线段CP绕点P顺时针旋转α，得线段PD，连接CD，AP，点E，F分别为BC，CD的中点，设直线AP与直线EF相交所成的较小角为β，探究的值和β的度数与m，n，α的关系．

请你参与学习小组的探究过程，并完成以下任务：
（1）填空：
问题发现
小明研究了α=60°时，如图1，求出了的值和β的度数分别为=       ，β=       ；
小红研究了α=90°时，如图2，求出了的值和β的度数分别为=       ，β=       ；
类比探究
他们又共同研究了α=120°时，如图3，也求出了的值和β的度数；
归纳总结
最后他们终于共同探究得出规律：=     （用含m，n的式子表示）；β=     （用含α的式子表示）．
（2）求出α=120°时的值和β的度数．