如图，在△ABC中，AC=BC，
∠ACB=90°，D是AC上一点，AE⊥BD交BD的延长线于点E，且BD=2AE．求证：BD是∠ABC的
角平分线．
答案
延长BC、AE交于点F．∵AC⊥BC于点C，AE⊥BD于E，
∴∠AED=90°，∠ACB=90°，
∴∠EAD＋∠ADE=90°，∠CDB＋∠CBD=90°．
又∠ADE＝∠CDB，∴∠EAD =∠CBD．
又∵AC=CB，∴Rt△ACF≌Rt△BCD（ASA），
∴AF=BD=2AE，∴AE=EF，即E为AF的中点.
又∵AE⊥BE，∴△ABE≌△FBE（SAS），
∴∠ABE=∠FBE，即BD是∠ABC的角平分线
知识点：全等三角形的判定
延长BC、AE交于点F，由已知条件AC⊥BC，AE⊥BD可知，∠EAD＋∠ADE=90°，∠CDB＋∠CBD=90°，又根据已知的条件∠ADE＝∠CDB知，∠EAD =∠CBD，则易证Rt△ACF≌Rt△BCD，因此可知E为AF的中点，则可易证△ABE≌△FBE，结论即证。
找合适的辅助线；直角三角形全等的判定
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