已知抛物线y=ax²-2ax-3a（a≠0）与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧．
（1）请求出抛物线对称轴和点A，B的坐标；
（2）已知点M(-1，1)，N(4，6a-2)，且抛物线与线段MN只有一个公共点，请求出a的取值范围．

（2021濮阳二模）如图，抛物线C₁：y=x²+2x+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OC=3OB，点D是抛物线的顶点．
（1）求抛物线C₁的解析式及顶点D的坐标；
（2）平移抛物线C₁后，得到抛物线：C₂：y=x²+2x+m．若点P(x，y)是抛物线C₂上任意一点，且当m≤x≤m+2时，y的最小值是-2，试求出m的值．

（2020眉山）如图1，抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点B坐标为(3，0)，点C坐标为(0，3)．
（1）求抛物线的表达式．
（2）点P为直线BC上方抛物线上的一个动点，当△PBC的面积最大时，求点P的坐标．
（3）如图2，点M为该抛物线的顶点，直线MD⊥x轴于点D，在直线MD上是否存在点N，使点N到直线MC的距离等于点N到点A的距离？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

（2021黔西南州）如图，直线l：y=2x+1与抛物线C：y=2x²+bx+c相交于点A(0，m)，B(n，7)．
（1）填空：m=       ，n=       ，抛物线的解析式为                ．
（2）将直线l向下移a（a＞0）个单位长度后，直线l与抛物线C仍有公共点，求a的取值范围．
（3）点Q是抛物线上的一个动点，是否存在以AQ为直径的圆与x轴相切于点P？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（2021荆州）小爱同学学习二次函数后，对函数y=-(|x|-1)²进行了探究．在经历列表、描点、连线步骤后，得到如图的函数图象．请根据函数图象，回答下列问题：
（1）观察探究：
①写出该函数的一条性质：                             ；
②方程-(|x|-1)²=-1的解为：               ；
③若方程-(|x|-1)²=a有四个实数根，则a的取值范围是                 ．
（2）延伸思考：
将函数y=-(|x|-1)²的图象经过怎样的平移可得到函数y₁=-(|x-2|-1)²+3的图象？写出平移过程，并直接写出当2<y₁≤3时，自变量x的取值范围．

如图，一次函数y₁=kx+1与二次函数y₂=ax²+bx-2交于A，B两点，且A(1，0)，抛物线的对称轴是直线．
（1）求k和a，b的值；
（2）求不等式kx+1＞ax²+bx-2的解集．

（2021永州）已知关于x的二次函数y₁=x²+bx+c（实数b，c为常数）．
（1）若二次函数的图象经过点(0，4)，对称轴为直线x=1，求此二次函数的表达式；
（2）若b²-c=0，当b-3≤x≤b时，二次函数的最小值为21，求b的值；
（3）记关于x的二次函数y₂=2x²+x+m，若在（1）的条件下，当0≤x≤1时，总有y₂≥y₁，求实数m的最小值．

已知二次函数y=(x-m)²-1（m为常数）．
（1）求证：不论m为何值，该函数图象与x轴总有两个公共点；
（2）请根据m的不同取值，探索该函数图象过哪些象限？（直接写出答案）