如图，二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点D，点B的坐标为(3，0)，顶点C的坐标为(1，4)．
（1）求二次函数的解析式和直线BD的解析式；
（2）点P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P在第一象限时，求线段PM的长度的最大值；
（3）在抛物线上是否存在点Q，且点Q在第一象限，使△BDQ中BD边上的高为？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+3与x轴，y轴分别相交于点A，B，并与抛物线的对称轴交于点C(2，2)．
（1）求k和b的值；
（2）在抛物线上是否存在点E，使它关于直线AB的对称点F恰好在y轴上．如果存在，直接写出点E的坐标；如果不存在，试说明理由．

如图，抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C(0，3)，顶点F的坐标为(1，4)，对称轴交x轴于点H，直线交x轴于点D，交y轴于点E，交抛物线的对称轴于点G．
（1）求出a，b，c的值；
（2）点M为抛物线对称轴上一个动点，若△DGM是以DG为腰的等腰三角形时，求出点M的坐标；
（3）点P为抛物线上一个动点，当点P关于直线的对称点恰好落在x轴上时，请直接写出此时点P的坐标．

如图，在矩形OABC中，OA=3，OC=5，分别以OA，OC所在直线为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，D是边CB上的一个动点（不与C，B重合），反比例函数（k＞0）的图象经过点D且与边BA交于点E，连接DE．
（1）连接OE，若△EOA的面积为2，则k=        ；
（2）连接CA，DE与CA是否平行？请说明理由；
（3）是否存在点D，使得点B关于DE的对称点在OC上？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

两条抛物线C₁：y₁=3x²-6x-1与C₂：y₂=x²-mx+n的顶点相同．
（1）求抛物线C₂的解析式．
（2）点A是抛物找C₂在第四象限内图象上的一动点，过点A作AP⊥x轴，P为垂足，求AP+OP的最大值．
（3）设抛物线C₂的顶点为点C，点B的坐标为(-1，-4)，问在C₂的对称轴上是否存在点Q，使线段QB绕点Q顺时针旋转90°得到线段QB′，且点B′恰好落在抛物线C₂上？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于坐标轴上两点A，C，抛物线与x轴另一交点为点B．
（1）求抛物线解析式．
（2）若动点D在直线AC下方的抛物线上．
①作直线BD，交线段AC于点E，交y轴于点F，连接AD，求△ADE与△CEF面积差的最大值，及此时点D的坐标；
②如图2，作DM⊥直线AC，垂足为点M，是否存在点D，使△CDM中某个角恰好是∠ACO的一半？若存在，直接写出点D的横坐标；若不存在，说明理由．

如图，已知点A(-1，0)，B(3，0)，C(0，1)在抛物线y=ax²+bx+c上．
（1）求抛物线解析式；
（2）在直线BC上方的抛物线上求一点P，使△PBC面积为1；
（3）在x轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点Q，使∠BQC=∠BAC？若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线经过A，C两点，连接BC．
（1）求直线的解析式；
（2）若直线x=m（m<0）与该抛物线在第三象限内交于点E，与直线交于点D，连接OD．当OD⊥AC时，求线段DE的长；
（3）取点G(0，-1)，连接AG，在第一象限内的抛物线上，是否存在点P，使∠BAP=∠BCO-∠BAG？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，已知直线y=-3x+c与x轴相交于点A(1，0)，与y轴相交于点B，抛物线
y=-x²+bx+c经过点A，B，与x轴的另一个交点是C．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点P是对称轴的左侧抛物线上的一点，当S_△PAB=2S_△AOB时，求点P的坐标．
（3）连接BC，抛物线上是否存在点M，使∠MCB=∠ABO？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

抛物线y=-x²+bx+c经过A(-1，0)，B(3，0)两点，交y轴于点C．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图，抛物线的对称轴交x轴于点E，顶点为D，连接BD，点P为线段BD上一点．
①是否存在点P满足PC=PE，若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由；
②在①的条件下，G为抛物线上一个动点，M为x轴上一个动点，作PF⊥x轴于点F，N为直线PF上一个动点，当以F，M，N，G为顶点的四边形是正方形时，请直接写出点M的坐标．