如图，半圆O的直径AB=4，以长为2的弦PQ为直径，向点O方向作半圆M，其中点P在弧AQ上且不与点A重合，但点Q可与点B重合．
发现：弧AP的长与弧QB的长之和为定值，求；
探究：当圆M与AB相切时，求弧AP的长．（注：结果保留π，，）

如图，△ABC内接于⊙O，∠C=120°．请仅用无刻度的直尺，分别在下列两个图形中，根据条件在AB的下方作一个30°的圆周角．（不写作法，保留作图痕迹）
（1）在图1中，AC=BC；
（2）在图2中，AC≠BC．

如图一面墙上有一个矩形门ABCD，现要打掉部分墙体将它改为一个圆弧形的门，在圆内接矩形ABCD中，AD=m，CD=1 m．
（1）求此圆弧形门所在圆的半径是多少m？
（2）求要打掉墙体的面积是多少m²？（结果保留根号）

如图，已知△ABC内接于⊙O，点C在劣弧AB上（不与点A，B重合），点D为弦BC的中点，DE⊥BC，DE与AC的延长线交于点E，射线AO与射线EB交于点F，与⊙O交于点G，设∠GAB=α，∠ACB=β，∠EAG+∠EBA=γ．
（1）点点同学通过画图和测量得到以下近似数据：

猜想：β关于α的函数表达式，γ关于α的函数表达式，并给出证明；
（2）若γ=135°，CD=3，△ABE的面积为△ABC的面积的4倍，求⊙O的半径长．

备用图

如图1是小明制作的一副弓箭，点A，D分别是弓臂BAC与弓弦BC的中点，弓弦BC=60cm．沿AD方向拉动弓弦的过程中，假设弓臂BAC始终保持圆弧形，弓弦不伸长．如图2，当弓箭从自然状态的点D拉到点D₁时，有AD₁=30cm，∠B₁D₁C₁=120°．
（1）图2中，弓臂两端B₁，C₁的距离为       cm；
（2）如图3，将弓箭继续拉到点D₂，使弓臂B₂AC₂为半圆，求D₁D₂的长．

如图，D是△ABC的BC边上一点，连接AD，作△ABD的外接圆，将△ADC沿直线AD折叠，点C的对应点E落在外接圆上．
（1）求证：AE=AB；
（2）若∠CAB=90°，cos∠ADB=，BE=2，求BC的长．

如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，点M是弧CBD上任意一点，AH=2，CH=4．
（1）求⊙O的半径r的长度；
（2）求sin∠CMD；
（3）直线BM交直线CD于点E，直线MH交⊙O于点N，连接BN交DE于点F，求HE·HF的值．

如图，AB是以O为圆心的半圆的直径，半径CO⊥AO，点M是弧AB上的动点，且不与点A，C，B重合，直线AM交直线OC于点D，连接OM与CM．
（1）若半圆的半径为10．
①当∠AOM=60°时，求DM的长；
②当AM=12时，求DM的长．
（2）探究：在点M运动的过程中，∠DMC的大小是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

如图1，在直角坐标系xOy中，直线l与x轴，y轴分别交于点A(4，0)，B(0，)两点，∠BAO的角平分线交y轴于点D．点C为直线l上一点，以AC为直径的⊙G经过点D，且与x轴交于另一点E．
（1）求证：y轴是⊙G的切线；
（2）请求出⊙G的半径r，并直接写出点C的坐标；
（3）如图2，若点F为⊙G上的一点，连接AF，且满足∠FEA=45°，请求出EF的长．

已知：如图，⊙O的直径AB与弦CD（不是直径）交于点F，若FB=2，CF=FD=4，求AC的长．