（2021广州）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线分别与x轴、y轴相交于A，B两点，点P(x，y)为直线在第二象限的点．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）设△PAO的面积为S，求S关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
（3）作△PAO的外接圆⊙C，延长PC交⊙C于点Q，当△POQ的面积最小时，求⊙C的半径．

如图，已知AB是⊙O的直径，PC切⊙O于点P，过A作直线AC⊥PC，交⊙O于另一点D，连接PA，PB．
（1）求证：AP平分∠CAB；
（2）若P是直径AB上方半圆弧上一动点，⊙O的半径为2，则：
①当弦AP的长是         时，以A，O，P，C为顶点的四边形是正方形；
②当弧AP的长度是         时，以A，D，O，P为顶点的四边形是菱形．

（2021鄂尔多斯）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，交BC于点E，直线EF⊥AC于点F，交AB的延长线于点H．
（1）求证：HF是⊙O的切线；
（2）当EB=6，cos∠ABE=时，求tanH的值．

阅读下列材料，完成相应的任务．
婆罗摩笈多（Brahmagupta）是古印度著名数学家、天文学家，他在三角形、四边形、零和负数的算术运算规则、二次方程等方面均有建树，特别是在研究一阶和二阶不定方程方面作出了巨大贡献．他曾经提出了“婆罗摩笈多定理”，该定理也称为“布拉美古塔定理”．该定理的内容及部分证明过程如下：
布拉美古塔定理：已知：如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD，垂足为M．如果直线ME⊥BC，垂足为E，并且交直线AD于点F，那么AF=FD．
证明：∵AC⊥BD，ME⊥BC
∴∠CBD+∠BCM=90°，∠CME+∠BCM=90°
∴∠CBD=∠CME
∵                    ，∠CME=∠AMF
∴∠CAD=∠AMF
∴AF=MF
…

任务：
（1）材料中划横线部分短缺的条件为：                    ；
（2）请用符号语言将下面“布拉美古塔定理”的逆命题补充完整，并证明该逆命题的正确性：
已知：如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD，垂足为M，F为AD上一点，直线FM交BC于点E，如果                ，那么                  ．
证明：

已知：如图，△ABC内接于⊙O，AF是⊙O的弦，AF⊥BC，垂足为D，点E为弧BF上一点，且BE=CF．
（1）求证：AE是⊙O的直径；
（2）若∠ABC=∠EAC，AE=8，求AC的长．

如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是弧AC上一点，AG与DC的延长线交于点F．
（1）如果CD=8，BE=2，求⊙O的半径长；
（2）求证：∠FGC=∠AGD．

如图，以AB为直径的⊙O交∠BAD的角平分线于C，过C作CD⊥AD于D，交AB的延长线于E．
（1）求证：直线CD为⊙O的切线；
（2）当AB=2BE，且CE=时，求AD的长．

若一直线与圆相交，过交点作圆的切线，则此切线与直线的交角中的任意一个称为直线和圆的交角，其中所夹弧为劣弧的角为劣交角，所夹弧为优弧的角为优交角．直线和圆的交角有以下性质：直线和圆的交角等于所夹弧所对的圆周角．
（1）为了说明直线和圆的交角性质的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程（只证明劣交角即可）．
已知：如图1，直线与⊙O相交于点A，B，过点B作                    ．
求证：∠ABD=        ．
（2）如图2，直线与⊙O相交于点A，B，AD为⊙O的直径，BC切⊙O于点B，交DA的延长线于点C，若AD=BC，AC=2，求⊙O的半径．

（2021陕西）如图，AB是⊙O的直径，点E，F在⊙O上，且弧BF=2弧BE，连接OE，AF，过点B作⊙O的切线，分别与OE，AF的延长线交于点C，D．
（1）求证：∠COB=∠A；
（2）若AB=6，CB=4，求线段FD的长．

如图，Rt△ABC中，以斜边AC为直径作⊙O，∠ABC的角平分线BP交⊙O于点P，过点P作⊙O的切线交BC延长线于点Q，连接OP，CP．
（1）求证：∠CPO=∠CBP；
（2）若BC=3，CQ=4，求PQ的长．