如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于点E．
（1）求证：∠BCO=∠D；
（2）若CD=，AE=2，求⊙O的半径．

2021赤峰）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点M，⊙O经过点B，C，交对角线BD于点E，且弧CE=弧BE，连接OE交BC于点F．
（1）试判断AB与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BD=，tan∠CBD=，求⊙O的半径．

如图，AB是⊙O的直径，点C是半圆上任意一点，连接BC并延长到点D，使得CD=CB，连接AD，点E是弧AC的中点．
（1）求证：△ABC≌△ADC．
（2）①当∠E=       °时，△ABD是直角三角形；
②当∠D=       °时，四边形OAEC是菱形．

已知：如图，△ABC内接于⊙O，AF是⊙O的弦，AF⊥BC，垂足为D，点E为弧BF上一点，且BE=CF．
（1）求证：AE是⊙O的直径；
（2）若∠ABC=∠EAC，AE=8，求AC的长．

（2021大庆）如图，已知AB是⊙O的直径．BC是⊙O的弦，弦ED⊥AB于点F，交BC于点G．过点C作⊙O的切线交ED的延长线于点P．
（1）求证：PC=PG；
（2）判断PG²=PD·PE是否成立？若成立，请证明该结论；
（3）若G为BC中点，OG=，，求DE的长．

如图，AB是⊙O的直径，点P是圆上不与点A，B重合的动点，连接AP并延长AP到点D，使AP=DP，连接BD，点C是BD的中点，连接OP，OC，PC．
（1）求证：BA=BD．
（2）填空：
①若AB=16，当AP=       时，四边形AOCP是菱形；
②当∠DPC=       °时，四边形OBCP是正方形．

（2021梧州）如图，在Rt△ACD中，∠ACD=90°，点O在CD上，作⊙O，使⊙O与AD相切于点B，⊙O与CD交于点E，过点D作DF∥AC，交AO的延长线于点F，且∠OAB=∠F．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若OC=3，DE=2，求tan∠F的值．

如图，△ABC内接于⊙O，∠C=120°．请仅用无刻度的直尺，分别在下列两个图形中，根据条件在AB的下方作一个30°的圆周角．（不写作法，保留作图痕迹）
（1）在图1中，AC=BC；
（2）在图2中，AC≠BC．

已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于点D，BC于点E，连接ED，若ED=EC．
（1）求证：AB=AC；
（2）若AB=4，BC=，求CD的长．

如图，已知△ABC内接于⊙O，点C在劣弧AB上（不与点A，B重合），点D为弦BC的中点，DE⊥BC，DE与AC的延长线交于点E，射线AO与射线EB交于点F，与⊙O交于点G，设∠GAB=α，∠ACB=β，∠EAG+∠EBA=γ．
（1）点点同学通过画图和测量得到以下近似数据：

猜想：β关于α的函数表达式，γ关于α的函数表达式，并给出证明；
（2）若γ=135°，CD=3，△ABE的面积为△ABC的面积的4倍，求⊙O的半径长．

备用图