如图，菱形ABCD的边长为20cm，∠ABC=120°．动点P，Q同时从点A出发，其中P以4cm/s的速度，沿A→B→C的路线向点C运动；Q以cm/s的速度，沿A→C的路线向点C运动．当P，Q到达终点C时，整个运动随之结束，设运动时间为t秒．
（1）在点P，Q运动过程中，请判断PQ与对角线AC的位置关系，并说明理由；
（2）若点Q关于菱形ABCD的对角线交点O的对称点为M，过点P且垂直于AB的直线l交菱形ABCD的边AD（或CD）于点N．
①当t为何值时，点P，M，N在同一直线上？
②当点P，M，N不在同一直线上时，是否存在这样的t，使得△PMN是以PN为一直角边的直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．

（2021赤峰）数学课上，有这样一道探究题．
如图，已知△ABC中，AB=AC=m，BC=n，∠BAC=α（0°<α<180°），点P为平面内不与点A，C重合的任意一点，连接CP，将线段CP绕点P顺时针旋转α，得线段PD，连接CD，AP，点E，F分别为BC，CD的中点，设直线AP与直线EF相交所成的较小角为β，探究的值和β的度数与m，n，α的关系．

请你参与学习小组的探究过程，并完成以下任务：
（1）填空：
问题发现
小明研究了α=60°时，如图1，求出了的值和β的度数分别为=       ，β=       ；
小红研究了α=90°时，如图2，求出了的值和β的度数分别为=       ，β=       ；
类比探究
他们又共同研究了α=120°时，如图3，也求出了的值和β的度数；
归纳总结
最后他们终于共同探究得出规律：=     （用含m，n的式子表示）；β=     （用含α的式子表示）．
（2）求出α=120°时的值和β的度数．

定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．
（1）如图1，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD上的点．求证：四边形ABEF是邻余四边形．
（2）如图2，在（1）的条件下，取EF中点M，连接DM并延长交AB于点Q，延长EF交AC于点N．若N为AC的中点，DE=2BE，QB=3，求邻余线AB的长．

如图所示，Rt△ABC中，已知∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC上运动（不能到达点B，C），过点D作∠ADE=45°，DE交AC于点E．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．

已知：如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边上的高．求证：CD²=AD·BD．

某市公共自行车的建设速度、单日租骑量等四项指标稳居全国首位．公共自行车车桩的截面示意图如图所示，AB⊥AD，AD⊥DC，点B，C在EF上，EF∥HG，EH⊥HG．已知AB=80cm，
AD=24 cm，BC=25cm，EH=4 cm，求点A到地面的距离．

探索发现
如图1，是一张直角三角形纸片，∠B=90°，小明想从中剪出一个以∠B为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE，EF剪下时，所得的矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为        ．
拓展应用
如图2，在△ABC中，BC=a，BC边上的高AD=h，矩形PQMN的顶点P，N分别在边AB，AC上，顶点Q，M在边BC上，则矩形PQMN面积的最大值为          （用含a，h的代数式表示）．
灵活应用
如图3，有一块“缺角矩形”ABCDE，AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，小明从中剪出了一个面积最大的矩形（∠B为所剪出矩形的内角），求该矩形的面积．
实际应用
如图4，现有一块四边形的木板余料ABCD，经测量AB=50cm，BC=108cm，CD=60cm，且tanB=tanC=，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M，N在边BC上且面积最大的矩形PQMN，求该矩形的面积．

如图1，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OB=OD，OC=OA+AB，AD=m，BC=n，∠ABD+∠ADB=∠ACB．
（1）填空：∠BAD与∠ACB的数量关系为                    ；
（2）求的值；
（3）将△ACD沿CD折叠，得到△A′CD，如图2，连接BA′，与CD相交于点P．若CD=，求PC的长．

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，动点E从点A出发沿着线段AB向终点B运动，速度为每秒3个单位长度，过点E作EF⊥AB交直线AC于点F，连接CE．设点E的运动时间为t秒．
（1）当点F在线段AC上（不含端点）时，
①求证：△ABC∽△AFE；
②当t为何值时，△CEF的面积为1.2；
（2）在运动过程中，是否存在某时刻t，使△CEF为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形的重心．
（1）特例感知：如图1，已知边长为2的等边△ABC的重心为点O，求△OBC与△ABC的面积．
（2）性质探究：如图2，已知△ABC的重心为点O，请判断，是否都为定值？如果是，分别求出这两个定值；如果不是，请说明理由．
（3）性质应用：如图3，在正方形ABCD中，点E是CD的中点，连接BE交对角线AC于点M．
①若正方形ABCD的边长为4，求EM的长度；
②若S_△CME=1，求正方形ABCD的面积．