如图，在正方形ABCD中，M，N分别是射线CB和射线DC上的动点，且始终∠MAN=45°．
（1）如图1，当点M，N分别在线段BC，DC上时，请直接写出线段BM，MN，DN之间的数量关系；
（2）如图2，当点M，N分别在CB，DC的延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，给予证明，若不成立，写出正确的结论，并证明；
（3）如图3，当点M，N分别在CB，DC的延长线上时，若CN=CD=6，设DB与AM的延长线交于点P，交AN于Q，直接写出AQ，AP的长．

（2021武汉）问题提出
如图1，在△ABC和△DEC中，∠ACB=∠DCE=90°，BC=AC，EC=DC，点E在△ABC内部，直线AD与BE交于点F．线段AF，BF，CF之间存在怎样的数量关系？
问题探究
（1）先将问题特殊化如图2，当点D，F重合时，直接写出一个等式，表示AF，BF，CF之间的数量关系；
（2）再探究一般情形如图1，当点D，F不重合时，证明1中的结论仍然成立．
问题拓展
如图3，在△ABC和△DEC中，∠ACB=∠DCE=90°，BC=kAC，EC=kDC（k是常数），点E在△ABC内部，直线AD与BE交于点F．直接写出一个等式，表示线段AF，BF，CF之间的数量关系．

（1）操作发现
如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．
①请按要求画图：将△ABC绕点A顺时针方向旋转90°，点B的对应点为点B′，点C的对应点为点C′，
连接BB′；
②在①中所画图形中，∠AB′B=         °．
（2）问题解决
如图2，在Rt△ABC中，BC=1，∠C=90°，延长CA到D，使CD=1，将斜边AB绕点A顺时针旋转90°到
AE，连接DE，求∠ADE的度数．
（3）拓展延伸
如图3，在四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，∠BAE=∠ADC，BE=CE=1，CD=3，AD=kAB（k为常数），求BD的长（用含k的式子表示）．

如图，路灯（P点）高8 m，小明身高为1.6 m，从距离路灯底部（O点）20 m的A点出发，沿直线行走14 m到达B点，请问这一过程中，小明身影的长度变化为多少？

如图，在矩形ABCD中，AB=9，AD=12．动点E从点B出发，沿线段BC（不包括端点B，C）以每秒2个单位长度的速度，匀速向点C运动；动点F从点C出发，沿线段CD（不包括端点C，D）以每秒1个单位长度的速度，匀速向点D运动；点E，F同时出发，同时停止．连接AF并延长交BC的延长线于点M，再把AM沿AD翻折交CD的延长线于点N，连接MN．设运动时间为t秒．
（1）当t为何值时，△ABE∽△ECF；
（2）在点E运动的过程中是否存在某个时刻使AE⊥AN？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；
（3）在运动的过程中，△AMN的面积是否变化？如果改变，求出变化的范围；如果不变，求出它的值．

如图，在□ABCD中，过点A作AE⊥DC于点E，连接BE，F为BE上一点，且∠AFE=∠D．
（1）求证：△ABF∽△BEC；
（2）若AD=5，AB=8，，求AF的长．

如图1所示，在△ABC中，点O是AC上一点，过点O的直线与AB，BC的延长线分别相交于点M，N．
问题引入
（1）若点O是AC的中点，，求的值．
探索研究
（2）若点O是AC上任意一点（不与A，C重合），求证：．
拓展应用
如图2所示，点P是△ABC内任意一点，射线AP，BP，CP分别交BC，AC，AB于点D，E，F．若，，求的值．

图1图2

如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=2，点D是BC边上的一个动点（不与B，C重合），在AC上取一点E，使∠ADE=30°．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；
（3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．

如图，在矩形ABCD中，已知AD＞AB．在边AD上取一点E，连接CE，过点E作EF⊥CE，与边AB的延长线交于点F．
（1）求证：△AEF∽△DCE；
（2）若AB=4，AE=6，AD=14，求线段AF的长．

如图所示，在△ABC中，AB=AC，BC的延长线上有一点D，CD=BC，CE⊥BD于点C，交AD于点E，BE交AC于点F．求证：
（1）△BCF∽△DBA；
（2）AF=CF．