如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB边上的中点，Rt△EFG的直角顶点E在AB边上移动．
（1）如图1，若点D与点E重合且EG⊥AC，DF⊥BC，分别交AC，BC于点M，N，易证EM=EN；如图2，若点D与点E重合，将△EFG绕点D旋转，则线段EM与EN的长度还相等吗？若相等请给出证明，不相等请说明理由；
（2）将图1中的Rt△EGF绕点D顺时针旋转角度α（0°<α<45°），如图2，在旋转过程中，当∠MDC=15°时，连接MN，若AC=BC=2，请求出线段MN的长；
（3）如图3，旋转后，若Rt△EGF的顶点E在线段AB上移动（不与点D，B重合），当AB=3AE时，线段EM与EN的数量关系是        ；当AB=m·AE时，EM与EN的数量关系是         ．

如图，在Rt△BCD中，∠CBD=90°，BC=BD，点A在CB的延长线上，且BA=BC，点E在直线BD上移动，过点E作射线EF⊥EA，交CD所在直线于点F．
（1）当点E在线段BD上移动时，如图1所示，求证：BC-DE=DF；
（2）当点E在直线BD上移动时，如图2、图3所示，线段BC，DE与DF又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．

如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD=AE，连接DC，BE，点P为DC的中点．
（1）

在Rt△ACB和Rt△AEF中，∠ACB=∠AEF=90°，若点P是BF的中点，连接PC，PE．
特殊发现：如图1，若点E，F分别落在边AB，AC上，则结论：PC=PE成立（不要求证明）．
问题探究：把图1中的△AEF绕着点A顺时针旋转．
（1）如图2，若点E落在边CA的延长线上，则上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
（2）如图3，若点F落在边AB上，则上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
（3）记，当k为何值时，△CPE总是等边三角形？（请直接写出k的值，不必说明理由）

如图1，正方形ABDE和BCFG的边AB，BC在同一条直线上，取EF的中点M，连接MD，MG，MB．
（1）线段MD和MG的位置关系为            ，数量关系为            ；
（2）如图2，将图1中的正方形变为菱形，设∠EAB=2α（0°<α<90°），其他条件不变，问（1）中的结论有变化吗？若有变化，请写出正确的结论（用含α的代数式表示）；若无变化，说明理由．

如图1摆放矩形纸片ABCD与矩形纸片ECGF，使B，C，G三点在一条直线上，CE在边CD上，连接AF，若M为AF的中点，连接DM，ME．
（1）猜想DM与ME的数量关系            ，并证明你的结论；
（2）若将图1中的纸片换成正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，其他条件不变，则DM和ME的关系为          ．
（3）如图2摆放正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，使点F在边CD上，点M仍为AF的中点，则DM和ME的关系为          ，并说明理由．

如图1，在等边△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，AD=AE，连接BE，CD，点M，N，P分别是BE，CD，BC的中点．
（1）观察猜想
图1中△PMN的形状是          ；
（2）探究证明
把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，△PMN的形状是否发生改变？并说明理由；
（3）拓展延伸
把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=1，AB=3，请直接写出△PMN的周长的最大值．

如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC于点D．
（1）如图1，点E，F在AB，AC上，且∠EDF=90°．求证：BE=AF；
（2）点M，N分别在直线AD，AC上，且∠BMN=90°．
①如图2，当点M在AD的延长线上时，求证：AB+AN=AM；
②当点M在点A，D之间，且∠AMN=30°时，已知AB=2，直接写出线段AM的长．

（1）如图1，菱形AEGH的顶点E，H在菱形ABCD的边上，且∠BAD=60°，请直接写出HD:GC:EB的结果（不必写出计算过程）．
（2）将图1中的菱形AEGH绕点A旋转一定角度，如图2，求HD:GC:EB．
（3）把图2中的菱形都换成矩形，如图3，且AD:AB=AH:AE=1:2，此时HD:GC:EB的结果与（2）小题的结果相比有什么变化吗？如果有变化，直接写出变化后的结果（不必写出计算过程）；若无变化，请说明理由．

如图是具有公共边AB的两个直角三角形，其中AC=BC，∠ACB=∠ADB=90°．
（1）如图1，若延长DA到点E，使AE=BD，连接CD，CE．
①求证：CD=CE，CD⊥CE；
②求证：AD+BD=CD；
（2）若△ABC与△ABD位置如图2所示，请直接写出线段AD，BD，CD的数量关系．