如图，△ABC，△BDE都是等腰直角三角形，BA=BC，BD=BE，AC=4，DE=．将△BDE绕点B旋转后得△BD′E′，当旋转至点E′，D′，A三点共线时，线段CE′=____．

如图，已知抛物线y=-x²+bx+c与y轴相交于点A(0，3)，与x正半轴相交于点B，对称轴是直线x=1．
（1）求此抛物线的解析式以及点B的坐标．
（2）动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向运动，同时动点N从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿y轴正方向运动，当N点到达A点时，M，N同时停止运动．过动点M作x轴的垂线交线段AB于点Q，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒．
①当t为何值时，四边形OMPN为矩形．
②当t＞0时，△BOQ能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以斜边AB上的中线CD为直径作⊙O，分别与AC，BC交于点E，F．过点F作⊙O的切线交AB于点M．
（1）求证：MF⊥AB；
（2）若⊙O的直径是6，填空：
①连接OF，OM，当FM=         时，四边形OMBF是平行四边形；
②连接DE，DF，当AC=         时，四边形CEDF是正方形．

如图，OA为⊙O的半径，AB⊥AO且AB=AO．点P为⊙O上一点，连接PA，作□PABC，过点C作⊙O的切线CD交AO的延长线于点Q，切点为D，连接PD．
（1）当PD∥AQ时，求证：CD=OQ；
（2）填空：
①当∠PAO=         °时，□PABC为菱形；
②若OA=，当B，P，O三点在一条直线上时，□APCB的面积为            ．

（12分）（2021通辽）已知△AOB和△MON都是等腰直角三角形（OA<OM<OA），∠AOB=∠MON=90°．
（1）如图1，连接AM，BN，求证：AM=BN；
（2）将△MON绕点O顺时针旋转．
①如图2，当点M恰好在AB边上时，求证：AM²+BM²=2OM²；
②当点A，M，N在同一条直线上时，若OA=4，OM=3，请直接写出线段AM的长．

如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．
（1）求证：△COD是等边三角形；
（2）当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？

（2021鄂尔多斯）如图，抛物线y=x²+2x-8与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．
（1）求A，B，C三点的坐标；
（2）连接AC，直线x=m（-4<m<0）与该抛物线交于点E，与AC交于点D，连接OD．当OD⊥AC时，求线段DE的长；
（3）点M在y轴上，点N在直线AC上，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在点M，使得以C，M，N，P为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

（2021广东）已知二次函数y=ax²+bx+c的图象过点(-1，0)，且对任意实数x，都有4x-12≤ax²+bx+c≤2x²-8x+6．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）若（1）中二次函数图象与x轴的正半轴交点为A，与y轴交点为C；点M是（1）中二次函数图象上的动点．问在x轴上是否存在点N，使得以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+1与抛物线y=x²+bx+c交于A，B(4，5)两点，点A在x轴上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E是线段AB上一动点（点A，B除外），过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点P，使∠PEF=90°？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2，点D是边AB上的动点，将△ACD沿CD所在的直线折叠至△CDA′的位置，CA′交AB于点E．若△A′ED为直角三角形，则AD的长为____.