如图，在平面直角坐标系中，已知点P₀的坐标为(1，0)，将点P₀绕着原点O按逆时针方向旋转30°得到点P₁，延长OP₁到P₂，使得OP₂=2OP₁；再将点P₂绕着原点O按逆时针方向旋转30°得到P₃，延长OP₃到P₄，使得OP₄=2OP₃……如此继续下去，点P₂₀₂₃的坐标为(    )

已知等边△ABC的边长为4，点P是边BC上的动点，将△ABP绕点A逆时针旋转60°得到△ACQ，点D是AC边的中点，连接DQ，则DQ的最小值是(    )

如图，大小不同的两个磁铁，其截面都是等边三角形，小三角形边长是大三角形边长的一半，点O是小三角形的内心，现将小三角形沿着大三角形的边缘顺时针滚动，当由①位置滚动到④位置时，线段OA绕点O顺时针转过的角度是(    )

（2021桂林）如图，正方形OABC的边长为2，将正方形OABC绕点O逆时针旋转角α（0°<α<180°）得到正方形OA′B′C′，连接BC′，当点A′恰好落在线段BC′上时，线段BC′的长度是____．

（2021广安）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转55°得到△ADE，若∠E=70°，且AD⊥BC于点F，则∠BAC的度数为(    )

如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=3，OB=2，将Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°后得Rt△FOE，将线段EF绕点E逆时针旋转90°后得线段ED，分别以O，E为圆心，OA，ED长为半径画弧AF和弧DF，连接AD，则图中阴影部分的面积是____．

（2021阜新）如图，弧长为半圆的弓形在坐标系中，圆心为(0，2)．将弓形沿x轴正方向无滑动滚动，当圆心经过的路径长为2021π时，圆心的横坐标是(    )

如图，在直角坐标系中，有一等腰直角三角形OBA，∠OAB=90°，直角边OA在x轴正半轴上，且OA=1，将Rt△OBA绕原点O顺时针旋转90°，同时扩大边长的1倍，得到等腰直角三角形OB₁A₁（即A₁O=2AO）．同理，将Rt△OB₁A₁顺时针旋转90°，同时扩大边长1倍，得到等腰直角三角形OB₂A₂……依此规律，得到等腰直角三角形OB_{2 020}A_{2 020}，则点B_{2 020}的坐标为(    )

如图，已知△ABC是等腰三角形，顶角∠BAC=α（α<60°），D是BC边上的一点，连接AD，将线段AD绕点A顺时针旋转α到AE，过点E作BC的平行线，交AB于点F，连接DE，BE，DF．
（1）求证：BE=CD；
（2）若AD⊥BC，试判断四边形BDFE的形状，并给出证明．

如图1，在等腰三角形ABC中，∠A=120°，AB=AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD=AE，连接BE，点M，N，P分别为DE，BE，BC的中点．
（1）观察猜想
图1中，线段NM，NP的数量关系是           ，∠MNP的大小为         ；
（2）探究证明
把△ADE绕点A顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接MP，BD，CE，判断△MNP的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸
把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=1，AB=3，请求出△MNP面积的最大值．