如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，点P为射线BD，CE的交点．
（1）问题提出：如图1，若AD=AE，AB=AC．
①∠ABD与∠ACE的数量关系为          ；
②∠BPC的度数为          ．
（2）猜想论证：如图2，若∠ADE=∠ABC=30°，则（1）中的结论是否成立？请说明理由．
（3）拓展延伸：在（1）的条件中，若AB=2，AD=1，若把△ADE绕点A旋转，当∠EAC=90°时，直接写出PB的长．

菱形ABCD中，∠BAD=120°，点O为射线CA上的动点，作射线OM与直线BC相交于点E，将射线OM绕点O逆时针旋转60°，得到射线ON，射线ON与直线CD相交于点F．
（1）如图1，点O与点A重合时，点E，F分别在线段BC，CD上，请直接写出CE，CF，CA三条线段之间的数量关系；
（2）如图2，点O在CA的延长线上，且OA=AC，E，F分别在线段BC的延长线和线段CD的延长线上，请写出CE，CF，CA三条线段之间的数量关系，并说明理由；
（3）点O在线段AC上，若AB=6，BO=，当CF=1时，请直接写出BE的长．

（1）如图1，E是正方形ABCD边AB上的一点，连接BD，DE，将∠BDE绕点D逆时针旋转90°，旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G．
①线段DB和DG之间的数量关系是         ；
②写出线段BE，BF和DB之间的数量关系．
（2）当四边形ABCD为菱形，∠ADC=60°，点E是菱形ABCD边AB所在直线上的一点，连接BD，DE，将∠BDE绕点D逆时针旋转120°，旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G．
①如图2，点E在线段AB上时，请探究线段BE，BF和BD之间的数量关系，写出结论并给出证明；
②如图3，点E在线段AB的延长线上时，DE交射线BC于点M．若BE=1，AB=2，直接写出线段GM的长度．

如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB边上的中点，Rt△EFG的直角顶点E在AB边上移动．
（1）如图1，若点D与点E重合且EG⊥AC，DF⊥BC，分别交AC，BC于点M，N，易证EM=EN；如图2，若点D与点E重合，将△EFG绕点D旋转，则线段EM与EN的长度还相等吗？若相等请给出证明，不相等请说明理由；
（2）将图1中的Rt△EGF绕点D顺时针旋转角度α（0°<α<45°），如图2，在旋转过程中，当∠MDC=15°时，连接MN，若AC=BC=2，请求出线段MN的长；
（3）如图3，旋转后，若Rt△EGF的顶点E在线段AB上移动（不与点D，B重合），当AB=3AE时，线段EM与EN的数量关系是        ；当AB=m·AE时，EM与EN的数量关系是         ．

如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD=AE，连接DC，BE，点P为DC的中点．
（1）

如图1，在等边△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，AD=AE，连接BE，CD，点M，N，P分别是BE，CD，BC的中点．
（1）观察猜想
图1中△PMN的形状是          ；
（2）探究证明
把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，△PMN的形状是否发生改变？并说明理由；
（3）拓展延伸
把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=1，AB=3，请直接写出△PMN的周长的最大值．

（1）如图1，菱形AEGH的顶点E，H在菱形ABCD的边上，且∠BAD=60°，请直接写出HD:GC:EB的结果（不必写出计算过程）．
（2）将图1中的菱形AEGH绕点A旋转一定角度，如图2，求HD:GC:EB．
（3）把图2中的菱形都换成矩形，如图3，且AD:AB=AH:AE=1:2，此时HD:GC:EB的结果与（2）小题的结果相比有什么变化吗？如果有变化，直接写出变化后的结果（不必写出计算过程）；若无变化，请说明理由．

两条抛物线C₁：y₁=3x²-6x-1与C₂：y₂=x²-mx+n的顶点相同．
（1）求抛物线C₂的解析式．
（2）点A是抛物找C₂在第四象限内图象上的一动点，过点A作AP⊥x轴，P为垂足，求AP+OP的最大值．
（3）设抛物线C₂的顶点为点C，点B的坐标为(-1，-4)，问在C₂的对称轴上是否存在点Q，使线段QB绕点Q顺时针旋转90°得到线段QB′，且点B′恰好落在抛物线C₂上？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

（上接第1，2，3题）（3）应用拓展：如图3，“等邻边四边形”ABCD中，AB=AD，
∠BAD+∠BCD=90°，AC，BD为对角线，.则BC，CD，BD的数量关系为(    )