如图，等边△ABC的边长为2，CD为AB边上的中线，E为线段CD上的动点，以BE为边，在BE左侧作等边△BEF，连接DF，则DF的最小值为____．

如图，在平面直角坐标系中，两个村庄M，N的坐标分别是(1，0)，(4，6)，两村庄之间有一条河，河的两岸线的纵坐标分别是2和3，现准备在河上建一座桥（桥近似看成一条线段），桥垂直于河岸线，再在桥的两端向两个村庄铺建直线型路段，当两路段之和最小时，完成下列问题．
（1）请画出桥的位置．（用虚线画出必要的辅助线）
（2）你所画的桥的位置的数学依据是            ．

如图，A(0，1)，B(3，3)，C(1，3)，B₁(-2，4)，C₁(-2，2)．
（1）△ABC绕点       逆时针旋转       度得到△AB₁C₁；
（2）画出△ABC绕原点O顺时针旋转90°的△A₂B₂C₂，直接写出点C₂坐标         ；若△ABC内一点P(m，n)在△A₂B₂C₂的对应点为Q，则Q的坐标为         ．（用含m，n的式子表示）
（3）在x轴上描出点M，使AM+BM最小，此时AM+BM=         ．

如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB经过点A(-4，0)，B(0，4)，⊙O的半径为1（O为坐标原点），点P在直线AB上，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为(    )

（2020广州）如图，⊙O为等边△ABC的外接圆，半径为2，点D在劣弧AB上运动（不与点A，B重合），连接DA，DB，DC．
（1）求证：DC是∠ADB的平分线．
（2）四边形ADBC的面积S是线段DC的长x的函数吗？如果是，求出函数解析式；如果不是，请说明理由．
（3）若点M，N分别在线段CA，CB上运动（不含端点），经过探究发现，点D运动到每一个确定的位置，△DMN的周长有最小值t，随着点D的运动，t的值会发生变化，求所有t值中的最大值．

如图，在△OAB中，OA=OB=10，∠AOB=80°，以点O为圆心，6为半径的圆分别交OA，OB于点M，N．
（1）点P在优弧MN右半弧上（∠BOP是锐角），将OP绕点O逆时针旋转80°得OP′，求证：AP=BP′；
（2）点T在优弧MN左半弧上，若AT与弧相切，求点T到OA的距离；
（3）设点Q在优弧MN上，当△AOQ的面积最大时，直接写出∠BOQ的度数．

（2021鄂尔多斯）如图，已知正方形ABCD的边长为6，点F是正方形内一点，连接CF，DF，且∠ADF=∠DCF，点E是AD边上一动点，连接EB，EF，则EB+EF长度的最小值为____．

先阅读材料，再解答问题：
小明同学在学习与圆有关的角时了解到：在同圆或等圆中，同弧（或等弧）所对的圆周角相等．如图，点A，B，C，D均为⊙O上的点，则有∠C=∠D．小明还发现，若点E在⊙O外，且与点D在直线AB同侧，则有∠D＞∠E．
请你参考小明得出的结论，解答下列问题：
（1）如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(0，7)，点B的坐标为(0，3)，点C的坐标为(3，0)．
①在图1中作出△ABC的外接圆（保留必要的作图痕迹，不写作法）；
②若在x轴的正半轴上有一点D，且∠ACB=∠ADB，则点D的坐标为          ；
（2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(0，m)，点B的坐标为(0，n)，其中m＞n＞0，点P为x轴正半轴上的一个动点，当∠APB达到最大时，直接写出此时点P的坐标．

问题背景：如图1，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，DE与BC交于点P，可推出结论：PA+PC=PE．
问题解决：如图2，在△MNG中，MN=6，∠M=75°，MG=．点O是△MNG内一点，则点O到△MNG三个顶点的距离和的最小值是____．

如图，已知等边△ABC的边长为4，点P是边BC上的动点，将△ABP绕点A逆时针旋转60°得到△ACQ，点D是AC边的中点，连接DQ，则DQ的最小值是(    )