数学活动课上，李老师给出如下定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称这个三角形为“智慧三角形”．
理解：
（1）如图1，已知A，B是⊙O上两点，请在圆上找出满足条件的点C，使△ABC为“智慧三角形”（画出点C的位置，保留作图痕迹）；
（2）如图2，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF=CD，试判断△AEF是否为“智慧三角形”，并说明理由．
运用：

（3）如图3，在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，点Q是直线y=3上的一点，若在⊙O上存在一点P，使得△OPQ是“智慧三角形”，当其面积取得最小值时，直接写出此时点P的坐标．

如图，弧ACB是半径为1的半圆，△AOC为等边三角形，D是弧BC上的一个动点（不与端点B，C重合），则四边形AODC面积的最大值为(    )

如图，坐标平面上有A(0，a)，B(-9，0)，C(10，0)三点，其中．若∠BAC=95°，则△ABC的外心在第(    )象限．

如图，已知⊙O的半径长为1，AB，AC是⊙O的两条弦，且AB=AC，BO的延长线交AC于点D，连接OA，OC．
（1）求证：△OAD∽△ABD；
（2）当△OCD是直角三角形时，求B，C两点的距离；
（3）记△AOB，△AOD，△COD的面积分别为S₁，S₂，S₃，如果S₂是S₁和S₃的比例中项，求OD的长．

如图所示，正方形ABGF和正方形CDBE的面积分别是100和36，则以AD为直径的半圆的面积是____．

（2021镇江）如图1，正方形ABCD的边长为4，点P在边BC上，⊙O经过A，B，P三点．
（1）若BP=3，判断边CD所在直线与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，E是CD的中点，⊙O交射线AE于点Q，当AP平分∠EAB时，求tan∠EAP的值．

（2021阜新）如图，弧长为半圆的弓形在坐标系中，圆心为(0，2)．将弓形沿x轴正方向无滑动滚动，当圆心经过的路径长为2021π时，圆心的横坐标是(    )

（2021湘西州）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）若AD=8，tan∠CAB=，求边AC及AB的长．

如图，AB为⊙O的直径，D为AB上一点，且AB=5AD，CD⊥AB，垂足为D，C在圆上，设∠COD=α，则sin=____．

（2021遵义）如图，点C是以点O为圆心，AB为直径的半圆上一点，连接AC，BC，OC，若AC=4，BC=3，则sin∠BOC的值是(    )