已知：如图，点F，E分别在AB，CD上，AE，DF分别与BC相交于H，G，∠A=∠D，
∠1+∠2=180°．试说明：AB∥CD．

证明：因为∠1=∠CGD，（                        ）
又因为∠1+∠2=180°（已知），
所以∠       +∠2=180°，
所以AE∥FD，（                        ）
所以∠A=∠         ．（                        ）
又因为∠A=∠D，
所以          ，（                        ）
所以AB∥CD．（                        ）

（1）特例发现：如图1，AB∥CD，CE平分∠ACD，AE平分∠BAC．请观察猜想∠AEC的度数并说明理由；
（2）类比探究：如图2，点M是AE上一点，当∠E=90°保持不变，移动直角顶点E，使CE平分∠MCD．
∠BAE与∠MCD存在怎样的数量关系？并说明理由；
（3）拓展应用：如图3，P为线段AC上一定点，点Q为直线CD上一动点，点Q不与点C重合．
∠CPQ+∠CQP与∠BAC有何数量关系？猜想结论并说明理由．

如图，AB∥CD，∠B=∠D，直线EF与AD，BC的延长线分别交于点E，F．求证：∠DEF=∠F．

完成下面证明：
已知：如图，AB和CD相交于点O，∠ACO=∠COA，∠D=∠BOD，过点C作CE∥AB且交DB的延长线于点E．求证：∠A=∠E．

证明：
因为∠ACO=∠COA，∠D=∠BOD，
又因为∠COA=∠BOD，（                         ）
所以∠ACO=        ，（等量代换）
所以AC∥BD，（                         ）
所以∠A=           ．（                         ）
又因为CE∥AB，
所以∠ABD=          ，（                         ）
所以∠A=∠E．（                         ）

如图，把一张长方形纸片ABCD折叠起来，使其对角顶点A，C重合，若其长BC为9，宽AB为3．
（1）求证：△AEF是等腰三角形；
（2）EF=         ．

如图，在△ABC中，点E在AB上，AE=AC，连接CE，点G为EC的中点，连接AG并延长交BC于D，连接ED，过点E作EF∥BC交AC于F．求证：EC平分∠DEF．

如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AB∥CD，E，F分别是DA，BC延长线上的点，且AE=CF，连接EF交BD于点O．
求证：△EOD≌△FOB．

（2019重庆）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的中点，连接AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F．
（1）若∠C=36°，求∠BAD的度数；
（2）求证：FB=FE．

（2021大连）如图，点A，D，B，E在一条直线上，AD=BE，AC=DF，AC∥DF．求证：BC=EF．

如图，直线CB∥OA，∠C=∠OAB=100°，点E，F在线段BC上，满足
∠FOB=∠AOB=α，OE平分∠COF．

（1）用含有α的代数式表示∠COE的度数；
（2）若沿水平方向向右平行移动AB，则∠OBC:∠OFC的值是否发生变化？若变化，找出变化规律；若不变，求其比值．