如图，以△ABC的边AB为直径的⊙O交AC边于点D，⊙O的切线DE交BC于E，且点E是BC的中点．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）①当∠BAC=          °时，四边形OBED为正方形；
②若AB=4，当BC=          时，四边形ODCE是平行四边形．

（2021广安）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x²+bx+c的图象与坐标轴相交于A，B，C三点，其中点A的坐标为(3，0)，点B的坐标为(-1，0)，连接AC，BC．动点P从点A出发，在线段AC上以每秒个单位长度的速度向点C做匀速运动；同时，动点Q从点B出发，在线段BA上以每秒1个单位长度的速度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接PQ，设运动时间为t秒．
（1）求b，c的值．
（2）在P，Q运动的过程中，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小，最小值为多少？
（3）在线段AC上方的抛物线上是否存在点M，使△MPQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，菱形ABCD的边长为20cm，∠ABC=120°．动点P，Q同时从点A出发，其中P以4cm/s的速度，沿A→B→C的路线向点C运动；Q以cm/s的速度，沿A→C的路线向点C运动．当P，Q到达终点C时，整个运动随之结束，设运动时间为t秒．
（1）在点P，Q运动过程中，请判断PQ与对角线AC的位置关系，并说明理由；
（2）若点Q关于菱形ABCD的对角线交点O的对称点为M，过点P且垂直于AB的直线l交菱形ABCD的边AD（或CD）于点N．
①当t为何值时，点P，M，N在同一直线上？
②当点P，M，N不在同一直线上时，是否存在这样的t，使得△PMN是以PN为一直角边的直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．

如图所示，Rt△ABC中，已知∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC上运动（不能到达点B，C），过点D作∠ADE=45°，DE交AC于点E．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．

如图，在矩形ABCD中，AB=9，AD=12．动点E从点B出发，沿线段BC（不包括端点B，C）以每秒2个单位长度的速度，匀速向点C运动；动点F从点C出发，沿线段CD（不包括端点C，D）以每秒1个单位长度的速度，匀速向点D运动；点E，F同时出发，同时停止．连接AF并延长交BC的延长线于点M，再把AM沿AD翻折交CD的延长线于点N，连接MN．设运动时间为t秒．
（1）当t为何值时，△ABE∽△ECF；
（2）在点E运动的过程中是否存在某个时刻使AE⊥AN？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；
（3）在运动的过程中，△AMN的面积是否变化？如果改变，求出变化的范围；如果不变，求出它的值．

如图，在钝角三角形ABC中，AB=6 cm，AC=12 cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止，点D运动的速度为1 cm/s，点E运动的速度为2 cm/s．如果两点同时运动，那么当以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是(    )

如图，在矩形ABCD中，点E为AD上一点，且AB=8，AE=3，BC=4，点P为AB上一动点，连接PC，PE，若△PAE与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P有(    )个．

在Rt△ABC中，BC=3，AC=4，点D，E是线段AB，AC上的两个动点（不与A，B，C重合），将△ADE沿DE翻折，使点A的对应点F落在直线BC上，当DF与△ABC的一条边垂直时，线段AD的长为____．

如图，抛物线y=-x²-2x+3的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C．
（1）求A，B，C的坐标；
（2）过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G．若FG=AC，求点F的坐标；
（3）E(0，-2)，连接BE．将△OBE绕平面内的某点逆时针旋转90°得到△O′B′E′，O，B，E的对应点分别为O′，B′，E′．若点B′，E′两点恰好落在抛物线上，求点B′的坐标．

如图，△ABC与△CDE是等边三角形，连接AD，取AD的中点P，连接BP并延长至点M，使PM=BP，连接AM，EM，AE，将△CDE绕点C顺时针旋转．
（1）观察猜想
在图1中，当点D在BC上，点E在AC上时，AE与AM的数量关系是        ，∠MAE=        ；
（2）探究证明
将△CDE绕点C顺时针旋转至图2的位置，（1）中的结论是否依然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）拓展应用
若CD=BC，将△CDE由图1位置绕点C顺时针旋转α（0°<α<360°），当ME=CD时，请直接写出α的值．