如图，已知AD平分∠BAC，且∠1=∠2．求证：BD=CD．

如图所示，两条笔直的公路AO与BO相交于点O，村庄D和E在公路AO的两侧，现要在公路AO和BO之间修一个供水站P向D，E两村供水，使供水站P到两公路的距离相等，且到D，E两村的距离也相等．请你在图中画出点P的位置．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．）

（2021河南）下面是某数学兴趣小组探究用不同方法作一个角的平分线的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应的任务．

任务：
（1）小明得出Rt△PGO≌Rt△PHO的依据是          （填序号）．
①SSS②SAS③AAS④ASA⑤HL
（2）小军作图得到的射线OP是∠AOB的平分线吗？请判断并说明理由．

已知：如图，∠AOE=140°，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，∠COD=30°，求∠AOB的度数．

已知：如图，∠AOE=140°，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，∠COD=30°，求∠AOB的度数．


 

已知在△ABC中，∠ACB=2∠B．
（1）如图1，∠C=90°，AD为∠BAC的平分线交BC于D，求证：AB=AC+CD．
（2）如图2，∠C≠90°，AD为∠BAC的平分线交BC于D，则线段AB，AC，CD又有怎样的数量关系？直接写出结果，不需要证明．
（3）如图3，∠ACB≠90°，AD为△ABC的外角∠CAE的平分线，交BC的延长线于点D，则线段AB，AC，CD又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并加以证明．


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如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，连接EF交AD于点O．求证：AD垂直平分EF．

如图1，在直角坐标系xOy中，直线l与x轴，y轴分别交于点A(4，0)，B(0，)两点，∠BAO的角平分线交y轴于点D．点C为直线l上一点，以AC为直径的⊙G经过点D，且与x轴交于另一点E．
（1）求证：y轴是⊙G的切线；
（2）请求出⊙G的半径r，并直接写出点C的坐标；
（3）如图2，若点F为⊙G上的一点，连接AF，且满足∠FEA=45°，请求出EF的长．

尺规作图：如图，已知∠AOB及M，N两点．请你在∠AOB内部找一点P，使它到这个角两边的距离相等，且到点M，N的距离也相等（保留作图痕迹，不写作法）．

如图1，线段AB，CD相交于点O，连接AD，CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD，AB分别相交于
点M，N．试解答下列问题：
（1）在图1中，请直接写出∠A，∠B，∠C，∠D之间的数量关系：                  ；
（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数有          个；
（3）图2中，当∠D=50°，∠B=40°时，求∠P的度数；
（4）图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D，∠B之间存在着怎样的数量关系．（直接写出结果，不必证明）．