如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A，D的⊙O分别交AB，AC于点E，F，连接OF交AD于点G．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）设AB=x，AF=y，试用含x，y的代数式表示线段AD的长；
（3）若BE=8，，求DG的长．

如图，在△ABC中，AB=AC，AO⊥BC于点O，OE⊥AB于点E，以点O为圆心，OE为半径作半圆，交AO于点F．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若点F是AO的中点，OE=3，求图中阴影部分的面积；
（3）在（2）的条件下，点P是BC边上的动点，当PE+PF取最小值时，直接写出BP的长．

如图，以AB为直径的⊙O外接于△ABC，过A点的切线AP与BC的延长线交于点P，∠APB的平分线分别交AB，AC于点D，E，其中AE，BD（AE<BD）的长是一元二次方程x²-5x+6=0的两个实数根．
（1）求证：PA·BD=PB·AE；
（2）在线段BC上是否存在一点M，使得四边形ADME是菱形？若存在，请给予证明，并求其面积；若不存在，说明理由．

如图，⊙O是△ABC的外接圆，O点在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD，CD．过点D作BC的平行线，与AB的延长线相交于点P．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）求证：△PBD∽△DCA；
（3）当AB=6，AC=8时，求线段PB的长．

（1）已知：如图1，△ABC是⊙O的内接等边三角形，点P为弧BC上一动点，求证：PA=PB+PC；
（2）如图2，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P为弧BC上一动点，求证：PA=PC+PB；
（3）如图3，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，点P为弧BC上一动点，请探究PA，PB，PC三者之间的数量关系，直接写出结论即可．

如图，在Rt△ABC与Rt△OCD中，∠ACB=∠DCO=90°，O为AB的中点．
（1）求证：∠B=∠ACD．
（2）已知点E在AB上，且BC²=AB·BE．
①若tan∠ACD，BC=10，求CE的长；
②试判断CD与以A为圆心，AE为半径的⊙A的位置关系，并说明理由．

如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，点H是△ABC的内心，AH的延长线和三角形ABC的外接圆O相交于点D，连接DB．
（1）求证：DH=DB；
（2）过点D作BC的平行线交AC，AB的延长线分别于点E，F，已知CE=1，⊙O的直径为5．
①求证：EF为⊙O的切线；②求DF的长．

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在线段AB上，以AD为直径的⊙O与BC相交于点E，与AC相交于点F，∠B=∠BAE=30°．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若AC=3，求⊙O的半径r；
（3）在（1）的条件下，判断以A，O，E，F为顶点的四边形为哪种特殊四边形，并说明理由．